Полное приращение и полный дифференциал.

Пусть дана функция . Полное приращение имеет вид:

.

Полным дифференциалом данной функции называется выражение

,

где dx и dy –дифференциалы независимых переменных.

Понятие полного дифференциала может быть распространено на функцию любого числа независимых переменных.

Если дифференциалы независимых переменных достаточно малы, то можно считать, что полный дифференциал функции равен приближенно приращению функции: . Зная также, что  и , можно записать формулу для полного приращения: .

Примеры для самостоятельной работы

1. Найти полный дифференциал для следующих функций:

1)                   4)

2)                5)

3)                  6)

2. Вычислить полное приращение функции z, если дано:

, , ,

Неопределенный интеграл.

Первообразная и неопределенный интеграл

Пусть дана функция , которая является производной некоторой функции , т. е. .Необходимо найти функцию . Если такая функция существует, то она есть первообразная от данной функции .

Определение 6. Функция  называется первообразной от функции  на отрезке , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство .

Пример. Найти первообразную от функции .

Из определения первообразной следует, что функция  является первообразной, так как .

Очевидно, что если для данной функции f(x) существует первообразная, то она не является единственной, так как в качестве первообразных могут быть следующие функции: , где С - произвольная постоянная, так как .

С другой стороны, не сложно доказать, что функциями вида  исчерпываются все первообразные от функции .

Определение 7. Если функция  является первообразной для , то выражение  называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом .

Таким образом, по определению , если .При этом функцию  называют подынтегральной функцией, а  -подынтегральным выражением.

Итак, согласно выше изложенному неопределенный интеграл представляет собой семейство функций .

С геометрической точки зрения неопределенный интеграл представляет совокупность кривых, каждая из которых получается путем сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т. е. вдоль оси Оy.

 Зададимся вопросом: для всякой ли функции  можно найти первообразные, а, значит, и неопределенный интеграл? Оказывается, что не для всякой. Более того, если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций.

Определение 8. Нахождение первообразной для данной функции называется интегрированием

Свойства неопределенного интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению  .

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная .

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен сумме их интегралов .

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е., если  , то . 

Таблица интегралов

 1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8.

9.

10. .

11.  

12.

Примеры нахождения интегралов по формулам:

1.

2.  

3.