Производная от сложной функции.

Пусть дана функция  такая, что ее можно представить в виде

и , где переменная  является промежуточным аргументом, тогда

Производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по x.

Пример1.

Пример2.

Дифференциал функции.

Пусть есть , дифференцируемая на некотором отрезке  и пусть у этой функции есть производная

, 

тогда можно записать

(1),

 где  - бесконечно малая величина,

 так как при

Умножая все члены равенства (1) на  имеем:

, где - б.м.в. высшего порядка.

Величина  называется дифференциалом функции  и обозначается

.

Геометрическое значение дифференциала.

Пусть дана функция .

Рис.2. Геометрический смысл дифференциала.

  .

Очевидно, что дифференциал функции  равен приращению ординаты касательной в данной точке.

Производные и дифференциалы различных порядков.

Если есть , тогда  называется первой производной.

Производная от первой производной называется производной второго порядка и записывается .

Производной n-го порядка от функции  называется производная (n-1)-го порядка и записывается:

.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка.

. .

Решение биологических задач с применением дифференцирования.

Задача 1. Исследования показали, что рост колонии микроорганизмов подчиняется закону , где N – численность микроорганизмов (в тыс.), t –время (дни).

а) Рассчитать численность популяции через 7 дней от посева.

б) Будет ли в этот период численность колонии увеличиваться или уменьшаться?

Решение 

а)

б)

Ответ. Численность колонии будет увеличиваться.

Задача 2. Вода в озере периодически тестируется для контроля содержания болезнетворных бактерий. Через t дней после тестирования концентрация бактерий определяется соотношением

         .

Когда в озере наступит минимальная концентрация бактерий и можно будет в нем купаться?

Решение Функция достигает max или min, когда ее производная равна нулю.

,

Определим max или min будет через 6 дней. Для этого возьмем вторую производную.

Ответ: Через 6 дней будет минимальная концентрация бактерий.

Функция нескольких переменных.

Рассматривая функции одного переменного, мы не сказали, что при изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более переменных. Например, площадь прямоугольника , где каждой паре значений x и y соответствует одно определенное значение S. Следовательно, функция S является функцией двух аргументов или функцией двух переменных.

Функция ,где каждому изменению n независимых аргументов соответствует одно значение функции называется функцией n переменных.

Частные производные.

Пусть z является функцией двух переменных: . Если один из аргументов, например, x изменяется на , а остальные аргументы остаются неизменными, то мы имеем частное приращение.

.

Также определяем частное приращение при изменении аргумента y при не изменяющемся аргументе x.

.

Определение 5. Частной производной функции z по аргументу x называется предел отношения частного приращения  к приращению  при стремлении .

Частная производная может обозначаться:

Следовательно, согласно определению имеем две частные производные.

.

Если мы имеем некоторую функцию n независимых переменных, то и частных производных в общем случае будем иметь n.

Пример: , т. е. Мы имеем функцию четырех переменных . Найдем все частные производные этой функции.

.