ГЛАВА 2. Элементы высшей математики.

Пределы

Пределом функции  является конечное число А, если при стремлении x®x₀ для каждого наперед заданного , найдется такое число , что как только , то .

Функция, имеющая предел, отличается от него на бесконечно малую величину: , где e - б.м.в., т.е. .

Пример. Рассмотрим функцию .

При стремлении , функция y стремится к нулю:

Основные теоремы о пределах.

1. Предел постоянной величины равен этой постоянной величине

.

2. Предел суммы (разности) конечного числа функций равен сумме (разности) пределов этих функций.

.

3. Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

4. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя не равен нулю.

Замечательные пределы

, , где

Примеры вычисления пределов

 Пример 1

Однако, не все пределы вычисляются так просто. Чаще вычисление предела сводится к раскрытию неопределенности типа:  или .

Пример 2

.

Пример 3

.

Производная функции

Пусть мы имеем функцию , непрерывную на отрезке .

Аргумент  получил некоторое приращение . Тогда и функция получит приращение .

Значению аргумента   соответствует значение функции .

Значению аргумента  соответствует значение функции .

Следовательно, .

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то он называется производной данной функции.

Определение 3 Производной данной функции по аргументу  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента произвольным образом стремится к нулю.

Производная функции  может быть обозначена следующим образом:

; ; ; .

Определение 4 Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием.

Механический смысл производной.

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела или материальной точки.

Пусть в некоторый момент времени движущаяся точка  находилась на расстоянии  от начального положения .

Через некоторый промежуток времени  она переместилась на расстояние . Отношение =  - средняя скорость материальной точки . Найдем предел этого отношения, учитывая что .

Следовательно, определение мгновенной скорости движения материальной точки сводится к нахождению производной от пути по времени.

Геометрическое значение производной

Пусть у нас есть графически заданная некоторая функция .

Рис. 1. Геометрический смысл производной

Если , то точка , будет перемещаться по кривой, приближаясь к точке .

Следовательно , т.е. значение производной при данном значении аргумента  численно равняется тангенсу угла образованного касательной в данной точке с положительным направлением оси .

Таблица основных формул дифференцирования.

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрическая функция

Обратная тригонометрическая функция

Правила дифференцирования.

Производная от

Производная суммы (разности) функций

Производная произведения двух функций

Производная частного двух функций