Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывно меняющегося напряжения (интеграл Дюамеля).

Реакция цепи на единичную функцию 1(t), называемую функцией Хэвисайда, называется переходной характеристикой цепи

Входной сигнал - может быть напряжением (током).

Выходной сигнал – либо ток, либо напряжение на элементах.

Переходные характеристики численно равны току или напряжению на соответствующих элементах.

RL – цепь: ;  ;

RC – цепь: ; ;

Интеграл Дюамеля можно определить при произведении входных сигналов.

Пусть непрерывно изменяющаяся функция.

запишем входной сигнал из этих сигналов  ,

идущих друг за другом непрерывно с одинаковым интервалом  .

Каждый скачок запаздывает на  , т.е. действует в момент  .

Элементарные скачки имеют знак «+» для возрастающей  , «-» - для убывающей.

Реакция цепи:

1) При действует скачок и реакция цепи будет  

2) При скачок и реакция цепи: .

3) Скачки включаются непрерывно от до и суммарная реакция цепи:

4)         

                                                          Интеграл Дюамеля

Примечание: интеграл Дюамеля применим также для входного сигнала, представляющего собой

                  кусочно-аналитическую функцию.

Задача:

Определить:

, где  

 ;

Глава 8. Операторный и спектральный анализ цепи.

Операторный метод расчетов переходных процессов

 8.1.1. Метод преобразований по Лапласу.

Недостатком классического метода является сложность решения дифференциальных уравнений 2-ого порядка и выше.

Преимущество операторного метода простота записи начальных условий. Они сразу обозначаются на схеме и учитываются при расчете.

Суть метода:

1)  

, где   

2) Идет расчет цепи в операторной форме: при этом упрощаются операции интегрирования и дифференцирования. Вместо дифференциальных уравнений решаются алгебраические, интегрированные

3) Обратно по времени:

Изображение некоторых функций по Лапласу

1) ,  

2)  

     ,         

3)    

  , где     

Пример:  

4) Выражение функций, связанных интегрированием и дифференцированием.

(1)

   (2)

При начальных условиях    

Заметим, что в этом методе заменяется на  

   (3)

        (4)

Заменяем на  

Аналогичные выражения получатся при интегрировании.

Закон Ома в операторной форме.

1) При нулевых начальных условиях:

2) Ненулевые начальные условия:

Если ненулевые начальные условия, то добавляем

2 закон Кирхгофа  для этой схемы:  

Общий случай закона Ома:

Законы Кирхгофа в операторной форме.

1з.К.:

2з.К.:    

При нулевых начальных условиях:  

Методы расчета в операторной форме.

Законы Кирхгофа в операторной форме похожи по написанию на законы Кирхгофа для цепи постоянного тока, поэтому похожи на все методы расчета.

Например, метод узловых потенциалов (МУП):

8.1.5. Переход от изображения к оригиналу.Теорема разложения.

Переход совершается следующим способом:

1)    

2) по таблицам ;

3) по теореме разложения:

, где

не имеет кратных корней.

теорема разложения

Пример:    

Приравниваем  :

По теореме разложения:

Пример расчета переходных процессов в цепях 2-ого порядка операторным методом.

Дано:

Определить после коммутации

Решение:

1) Определим начальные условия до коммутации

2) Схема после коммутации в операторной форме:

По 2 закону Кирхгофа:  

Приравниваем  

 ,  

где