Элементарные двухполюсники в цепи синусоидального напряжения.

4.4.1. Активное сопротивление в цепи синусоидального напряжения.

Сопротивление в цепи переменного тока называется активным (r).

Оно отличается от сопротивления R в цепи постоянного тока, называющееся омическим. Это отличие связано с поверхностным эффектом (явлением вытеснения переменного тока от центра проводника к его поверхности).

r = K ∙ R , где К – коэффициент (К > 1)

K = F (

 является функцией этих параметров.

Поверхностный эффект считается при больших токах (сотни ампер), а так же на частотах больше 100 кГц.

Будем считать, что r = R (в звукотехнике).

        u =     

Следствия:

1) (совпадают по фазе)

2) 𝜑 = (сдвиг по фазе = 0)

3) ;  

Временные диаграммы:

Мгновенная мощность:

 =  =  

=  = [Вт]

всегда  ≥  0  значит, активное сопротивление безвозвратно расходует, поступившую в него электроэнергию.

Активная мощность или средняя за период:

 = [ Вт ]

Пусть ⇒  =   [Дж]

4.4.2. Индуктивность цепи синусоидального напряжения.

  ;

,  где - потокосцепление 

 

 ⊜

A = 0 , т.к. в установившимся режиме синусоидальный ток не содержит постоянную составляющую

⊜  =      

 

Выводы:

1)    -      

 

2)  -      

 

3)    

 

[Ом] - индуктивное сопротивление

 

[См] - индуктивная проводимость 

 

4)  , где  – реактивное сопротивление; энергия в виде тепла не выделяется, а периодически накапливается и возвращается обратно в источник;  расчетная величина, которая учитывает явления самоиндукции.

- ток ленивый (отстает на  )

 

Частотные характеристики

сопротивления и проводимости.

 =

=        

 

 

 = [ВAр]

 

Четверть периода >0: энергия потребляется от источника.

Другую четверть периода <0: энергия возвращается обратно к источнику.

 

 

 

 = ⇒ полагая, что ,  а ⇒   

Подставляем синусоидальную функцию:

 =  

Примечание: реальная катушка индуктивности, кроме индуктивности L, обладает активным сопротивлением

                   провода:

  , где   -    

 

 

Чем выше  , тем меньше γ и тем ближе реальная катушка к идеальному элементу цепи индуктивности.

 

4.4.3. Емкость цепи синусоидального напряжения.

 

 =

=

Сравнение двух последних равенств:

1) -   

 

2) -   

 

3) ,   где - емкостное сопротивление [Ом]

  [См] -   

4)  

 

 =

=

 =  [ВAр]

 

 

 

 

 

Полагая, что  и  ⇒  

 = [Дж] 

Реальный конденсатор, кроме емкости, обладает активной проводимостью, которая учитывает потерю энергии в диэлектрике, разделяющем пластины конденсатора.

 

 

 - добротность реального конденсатора [б/р]

Чем выше  , тем меньше 𝛿 и тем ближе реальный конденсатор к идеальному элементу цепи емкости.

𝛿 - угол диэлектрических потерь. Он зависит от сорта диэлектрика и частоты. В лучшем случае он равен нескольким секундам, в худшем – нескольким градусам.

 

4.4.4. Последовательное соединение  R, L, C – элементов.

Дано:  r, L, C ,  

Определить:    

 

      ⇒     𝜑  - ?

 

Решение: Законы Кирхгофа применены к мгновенным значениям ⇒

⇒ по 2зК:  =                   

=

Заменим сложение трех синусоидальных функций в тригонометрической форме сложением,

изображающим их векторa.

 

Первый вектор произвольно:

 ← ∆-к напряжений

 – реактивное

 – активное

 =

-     реактивное сопротивление

 

1)  

(аналогично для действующих значений)

 

 

2)  

Могут быть 3 случая:

1 сл.) при , 𝜑 > 0    ⇒   

 

2 сл.) при , 𝜑 < 0 ⇒  

 

3 сл.) при , 𝜑 < 0 ⇒  в цепи возникает резонанс 

 

Из ∆-ка напряжений :

     

     

 =     

 

-

–       

 

Если все стороны ∆-ка разделить на  , то получится ∆ сопротивления.

←∆-к тока:

        

 

 

4.4.5. Параллельное соединениеR, L, C в цепи.

Дано: ; , L, C . 

Определить:    

 

      ⇒  𝜑  - ?

 

 

Решение:

По 1зК: (3)

→ закон Ома при соединении , L, C в цепи.

        

- полная проводимость цепи.

 

 

§4.5. Дуальные электрические цепи.

Под условием дуальности понимается такое соответствие электрических цепей, при котором закон изменения контурных токов в одной цепи подобен закону изменения узловых напряжений в другой цепи.

Элементы электрической цепи:

Для таких элементов зависимости между напряжениями и токами имеют вид:

   (1)          (2)

Следует иметь в виду, что входящие в системы (1) и (2) напряжения и токи, имеющие одинаковые буквенные обозначения, не равны друг другу.

Из сравнения уравнений (1) и (2) видно, что условию дуальности удовлетворяют следующие элементы: 1) сопротивление и проводимость; 2) индуктивность и емкость; 3) источник ЭДС и источник тока. Элементы цепи, удовлетворяющие условию дуальности, называются аналогами или дуальными элементами.

При последовательном соединении элементов цепи суммируются напряжения, при параллельном соединении элементов цепи – токи. Поэтому последовательному соединению элементов соответствует параллельное соединение их аналогов, а параллельному соединению – последовательное соединение их аналогов. Например:

Уравнение напряжений для исходной цепи (левый рисунок) подобно уравнению токов для второй цепи: .                       Таким образом, контурному току i соответствует узловое напряжение u.

Если ЭДС и ток источников подчинены одному и тому же закону и имеют одинаковую начальную фазу, то законы изменения контурного тока левой части примера и узлового напряжения левой части совпадают при соблюдении пропорции: .

В случае сложной электрической цепи каждой ее области, ограниченной независимым контуром, с учетом также области, внешней по отношению ко всей цепи, соответствует узел дуальной цепи. Следовательно, число областей заданной цепи равно числу узлов дуальной цепи.

При построении дуальной цепи по отношению к заданной планарной цепи удобно пользоваться графическим приемом, простая форма которого была показана на рисунке.

В каждой области, ограниченной независимым контуром заданной цепи, наносится точка, рассматриваемая в качестве будущего узла дуальной цепи. Узлы, соответствующие каждой паре смежных областей, соединяются параллельными ветвями, число которых равно числу элементов, последовательно включенных в цепь, граничащую с указанными областями. Элементами параллельных ветвей являются аналоги элементов заданной цепи.

Сложная форма графического способа построения дуальной цепи иллюстрируется на примере:

Из рисунка видно, что исходная цепь (левый рисунок) содержит три независимых контура, внутри которых фиксируются три точки (1, 2 и 3), соответствующие узлам исходной дуальной цепи. Четвертую точку, соответствующую узлу 4, фиксируется в области, внешней по отношению к заданной цепи. Между этими точками проводят пунктирные линии, пересекающие элементы цепи и представляющие собой ветви дуальной цепи; пересекаемые элементы заменяются их аналогами, включенными между соответствующими узлами дуальной цепи.

При согласовании ЭДС и токов дуальных источников руководствуются следующим правилом: если ЭДС источника действует в положительном направлении контура (по ходу часовой стрелки), то ток источника тока в дуальной цепи направлен к узлу, соответствующему данному контуру исходной схемы.

При соблюдении пропорции комплексное сопротивление цепи, общей для двух смежных контуров схемы, пропорционально комплексной проводимости цепи, соединяющей два соответствующих узла дуальной цепи. Например, в схеме (3)комплексное сопротивление цепи равно:    ,      а в схеме (4) комплексная проводимость цепи:

Полагая, что  где k – коэффициент пропорциональности, имеющий размерность сопротивления, получаем:

Аналогичная пропорциональность получается и между входным сопротивлением и проводимостью более сложных дуальных цепей. Это свойство используется, в частности, в теории электрических фильтров.