Оценка погрешностей косвенных измерений

При косвенных измерениях искомая величина А функционально связана с одной или несколькими непосредственно измеряемыми величинами x, y,…,t. Если искомая величина зависти от одной переменной, т. е. A=F(x), то приращение функции будет определяться как

A+ΔA = F(x+Δx).

Разложив правую часть этого равенства в ряд Тейлора и пренебрегая членами разложения, содержащими Δx в степени выше первой, получим

A+ΔA≈F(x)±  или ΔA≈±

Относительная ошибка измерения функции определяется выражением

Если измеряемая величина А является функцией нескольких переменных
A = F(x, y,…,t), то абсолютная погрешность имеет вид

                                                   (2.8)

Частные относительные погрешности косвенного измерения определяются по формулам

Относительная погрешность косвенного результата измерений

Пример 2.4. Требуется произвести косвенное измерение мощности. При этом имеются значения тока I и напряжения U, подтверждаемые прямыми измерениями. Пусть U = 220 В, I = 5 А, средние квадратические отклонения напряжения и тока составляют = 1 В и  = 0,04 А соответственно. Будем полагать, что доверительная вероятность результата измерения P_д = 0,9944 и t_p = 2,77. Расчет мощности будем производить по формуле P = U∙I = 220·5 = 1100 Вт. Тогда абсолютная погрешность измерения будет определяться выражением · t_p. Находим значение абсолютной погрешности, полагая ΔU =  и ΔI = :  = 28,036. Следовательно, результат измерения мощности можно записать как P = 1100±28 Вт, P_д = 0,9944.

При сложной нелинейной функции A = F(x, y,…t), отыскание закона распределения погрешности результата связано со значительными математическими трудностями. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях приходится отказы­ваться от использования интервальных оценок погрешности результата, ограничиваясь приближенной верхней оценкой ее границ.

Применив формулу (2.8), получим несколько простых правил оце­нивания погрешности результата косвенного измерения. Для простоты рассмотрим функцию
с двумя аргументами: A = F( , ).

Правило 1. Погрешности в суммах и разностях. Если  и  измерены с погрешностями  и  и измеренные значения использу­ются для вычисления суммы или разности , то суммируются абсолютные погрешности
(без учета знака):

.

Правило 2. Погрешности в произведениях и частных. Если из­меренные значения , и  используются для вычисления или , то суммируются относительные погрешности , где .

Правило 3. Измеренная величина умножается на точное число. Если  используется для вычисления произведения , в котором В не имеет погрешности, то .

Правило 4. Возведение в степень. Если  используется для вычисления степени , то .

Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной пере­менной. Если  используется для вычисления функции А(а), то

.

Вывод этих правил не приводится и может быть легко сделан само­стоятельно. Использование правил позволяет получить не слишком завы­шенную оценку предельной погрешности результата нелинейного косвен­ного измерения при не слишком большом числе аргументов (менее 5).

Пример 2.5. Производится косвенное измерение электрической мощности, рассеиваемой на резисторе сопротивлением R = 75±4 Ом при падении напряжения на нем U = 8,6±0,01 В. Так как P=U²/R, то, при­меняя правила 2 и 4, получим
δP = 2δU+δR = 2·0,001+0,053 = 0,055. Отсюда ΔP = P·δ = 0,986·0,055 = 0,054 Вт. Таким образом, рассеиваемая мощность равна 0,98±0,05 Вт.