Доверительный интервал и доверительная вероятность

Принимая точечную оценку  за истинное значение измеряемой величины x₀,необходимо убедиться в ее точности. В качестве меры точности используемой оценки следует рассматривать симметричный интервал ( -Δ_г, +Δ_г),
в котором с за­данной вероятностью Р_д (обычно она выбирается близкой к единице) располагается ошибка оценки . Иными словами,
 Р(| - x₀|<Δ_г) = Р( -Δ_г <x₀< +Δ_г)= Р_д.

Интервал ( -Δ_г, +Δ_г) шириной 2Δ_г называется доверительным интервалом, а вероятность Р_дназывается доверительной вероятностью. В некоторых случаях доверительную вероятность записывают в форме Р_д = 1-q, где q – уровень значимости. Значения х_Н = -Δ_г и х_В = +Δ_г называются нижней и верхней границами доверительного интервала соответственно,а Δ_г – доверительной гра­ницей случайной погрешностирезультата измерения. Доверительная граница Δ_г зависит от  доверительной вероятности Р_д. Поэтому в результатах обработки многократных наблюдений величины Xобязательно указывается принятое значение этой вероятности. Например, результат обработки измерения напряжения с многократными наблюдениями может быть записан как U = 220±1 В,
Р_д = 0,95.

В метрологии оценка случайных погрешностей измерений с помощью до­верительного интервала называется интервальной. Доверитель­ный интервал определяется главным образом с использованием квантильных оценок случайных погрешностей. При таких оценках исходят из того, что площадь, заключенная под всей кривой плотности распределения погрешностей, отражает вероятность всех возможных значений погрешности и по условиям нормирования равна еди­нице. Эту площадь можно разделить вертикальными линиями на части. Абс­циссы таких линий называются квантилями.

При обработке результатов не­большого числа (2<N<20) многократных наблюдений физической величины используется закон распределения Стьюдента. При этом предполагается, что случайные погрешности распределены по нормальному закону. Закон распределения Стьюдента при числе наблюдений N>20 практически совпадает с нормальным нормиро­ванным законом, а при N< 20 отличается от него тем значительнее, чем меньше k. Для вычисления доверительных границ случайной погрешности используется коэффициент Стьюдента, значения которого определяются из справочных таблиц при заданных доверительной вероятности Рд и количестве измерений k. Таблицы значений коэффициента Стьюдента tp приведены во многих источниках, в частности
в работе [3].