Выборочные оценки числовых индексов воспроизводимости

1.В литературе и нормативных документах, посвященных статистическому контролю производственных процессов, в недавнее время широкое распространение получила методика оценки значимости технологического рассеяния и правильности настройки посредством так называемых индексов воспроизводимости:

 и

где D- полуширина поля допуска; s- СКО технологического рассеяния; m - фактический номинал настройки процесса; а и b- соответственно нижняя и верхняя границы поля допуска.

Вероятностный и «физический» смысл величин  при таком определении вполне прозрачен и не вызывает никакой двусмысленности. Однако на практике числовые характеристики m и s, как правило, неизвестны и заменяются выборочными оценками (п.1.4). При этом объем выборки обычно невелик и составляет порядка 50 значений. В данной ситуации  превращаются в выборочные статистики, а стало быть СВ, и для того чтобы оценка процесса посредством  была адекватной, необходимо установить их законы распределения. В качестве исходного соотношения рассмотрим ПР выборочного СКО стандартного нормального распределения (п.1.4):

.                    (5.3.1)

Пусть  - «точное» значение индекса (принято руководствоваться двумя контрольными нормативами:  - удовлетворительная воспроизводимость,  – хорошая воспроизводимость). Выборочную оценку  преобразуем к виду . Таким образом, при любом значении s (от m С_р, в принципе, не зависит) ПР выборочной  идентична ПР СВ , где s - выборочное СКО стандартной нормальной совокупности. Искомую ПР величины  найдем путем суперпозиции преобразований  (п.1.1):

.                (5.3.2)

2. При выводе ПР выборочного  будем полагать, что процесс настроен на центр поля допуска ( ). В этом случае точные значения и будут совпадать: . Из определения  очевидно, что его можно представить в виде

 .                              (5.3.3)

Таким образом, поскольку  не зависит от , достаточно рассмотреть выборку из . При этом ограничение  также несущественно и при  сводится лишь к сдвигу по параметру .

Закон распределения выборочного  найдем как ПР функции от  и . Сначала, согласно общей методике (п.1.3), найдем . Для этого придется рассмотреть 2 случая:   и  (рис.5.3.1, 5.3.2).

Плотность совместного распределения СВ  и , как следует из установленной в п.1.4 их независимости, равна произведению ПР компонент. Интегрируя ПР совместного распределения по области D(z), получаем

 (5.3.4)

                    0         

Рис. 5.3.1. Схема области интегрирования для определения

в координатах при

Дифференцируя (5.3.4) по , находим:

          (5.3.5)

Рис. 5.3.2. Схема области интегрирования для определения

в координатах при

В этом случае  будет иметь вид

.     (5.3.6)

После дифференцирования по получим

          (5.3.7)

3. Как видно из формул (5.3.5), (5.3.7),  имеет, вообще говоря, особенность в точке . Однако эта особенность является устранимой (непрерывность в точке  не нарушается) и, поскольку левый «хвост»  при  ничтожно мал, не представляет практического интереса. Интерес представляет тот факт, что выборочные оценки и  имеют значительное положительное смещение, которое по непонятным причинам игнорируется как в литературе, так и в нормативных документах (стандартах, методических указаниях и т.д.), посвященных статистическому контролю производственных процессов. Имеющиеся в распоряжении ПР (5.3.5), (5.3.7) в принципе позволяют, вычислив средние значения статистики и , определить величину смещения и скомпенсировать его по аналогии с выборочными дисперсией и СКО (п.1.4) посредством поправочных коэффициентов. Однако даже с учетом этих уточнений придется признать, что общепринятая на сегодняшний день методика определения числовых индексов воспроизводимости сформулирована не совсем удачно. Более рациональным представляется перейти к обратным величинам:

.

Главным доводом в пользу этого является существенное повышение эффективности оценок (СКО «штрихованных» статистик примерно в 4 раза меньше, чем у исходных). Кроме того, устанавливается единообразие с другими числовыми показателями качества: с оценкой вероятности выхода несоответствующей единицы продукции, оценкой доли несоответствующих единиц продукции в партии, рисков поставщика и потребителя и т.д., где идеальному процессу соответствуют нулевые значения показателей. В предлагаемом варианте область значений удовлетворительного процесса составит , хорошего –  вместо . Их ПР легко вычисляются с помощью преобразования  (п.1.1), и возникающее отрицательное смещение можно без проблем компенсировать. Однако более предпочтительным с точки зрения практической применимости представляется определение для каждого нормативного значения одностороннего доверительного (90%-95%) интервала, выход за верхнюю границу которого естественно интерпретировать как разладку процесса. Сравнительный вид ПР величин  приведен на рис.5.3.3.

Рис. 5.3.3. Плотности распределения величин

 при

Список  Литературы

1. Бернштейн, С.Н. Теория вероятностей. / C.Н. Бернштейн.— Изд. 4-е перераб. И доп. М.-Л.: ОГИЗ, 1946.

2. Вентцель, Е.С., Овчаров, Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров.—  М.: Высш. шк., 2000.

3. Вентцель, Е.С., Овчаров, Л.А Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров.—  М.: Высш. шк., 2003.

4. Крамер, Г. Математические методы статистики /

Г. Крамер.— М.: Мир, 1976.

5. Корн, Г., Корн, Т. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн.—  М.: Наука, 1984.

6. Макаров, В.В. Mathcad – 2001 учебный курс / В.В. Макаров.

— С.Пб.: Питер, 2004.

7. . Смирнов, Н.В., Барковский, И.В. Теория вероятностей и математическая статистика в технике (общая часть) / Н.В. Смирнов, И.В. Барковский.—  М.; Наука, 1965.

8. Плотников, А.Н. Закон распределения длины максимальной серии и его статистические приложения / А.Н. Плотников // Известия СНЦ РАН, 2006. Т. 8, №4- С.1047-1056.

9. Плотников, А.Н. Об инвариантах структуры серий и критериях случайности последовательной выборки./ А.Н. Плотников // Известия СНЦ РАН, 2006. Т.8, №4.- С.1142-1147.

10. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения Т.1 / В. Феллер.— М.: Мир, 1983.

11. Финни, Д. Введение в теорию планирования эксперимента / Д. Финни.— М.: Наука, 1970.

12. Хикс, Ч. Основные принципы планирования эксперимента /  Ч. Хикс.— М.: Мир, 1997.

Приложение I