Парадокс инспекции и смежные вопросы

1. Сами по себе числовые характеристики (4.1.8) носят сугубо иллюстративный характер, и собственно задача про счастливый билет выбрана из большого ряда аналогичных комбинаторно-вероятностных схем для большей занимательности и наглядности. Гораздо более принципиально важным является фундаментальное свойство геометрического распределения, для иллюстрации которого и был приведен этот демонстрационный пример.

Зададимся вопросом: какова будет сравнительная продолжительность ожидания покупки счастливого билета, если в одном случае вести отсчет от очередного счастливого билета, а в другом – от первого попавшегося?

Предположим, что из первых k испытаний ни одно не привело к успеху, тогда условная вероятность успеха в (k+1) -ом  составит

                        (4.2.1)

Подставляя в (4.2.1) ряд распределения, получим

                   (4.2.2)

Таким образом, знание «истории» никак не влияет на прогноз относительно результата очередного испытания. Стало быть, каждый билет может считаться первым, и на поставленный вопрос можно дать вполне определенный ответ:  время ожидания не зависит от начала отсчета, и «счастливчик» имеет ровно такие же шансы на очередной успех, как и его менее удачливый попутчик.

2. Из независимости от начала отсчета следует, что в качестве него может служить произвольная (случайная) точка t* на оси t. Но тогда расстояние до ближайшего следующего события потока (вре-мя ожидания R) и время, прошедшее от ближайшего предыдущего события (время опоздания Q на рис.4.2.1), имеют такой же закон распределения, как и интервал между событиями. В силу стационарности потока R и Q независимы, стало быть, их сумма – интервал, накрывающий случайную точку t* имеет распределение Эрланга второго порядка: .

Рис. 4.2.1. Схема расположения событий потока на оси времени

Но, с другой стороны, интервал между соседними событиями имеет показательную ПР . Возникающий, так называемый, парадокс инспекции разрешается довольно просто. В качестве наводящих рассуждений рассмотрим модельный пример. Пусть интервал между событиями (неперекрывающиеся отрезки на оси t) может принимать только два возможных значения  с вероятностями р₁ и р₂=1-р соответственно. На ось t бросается случайная точка t*. Требуется найти закон распределения интервала, в который попала брошенная точка. В данной постановке применима формула Байеса. Гипотезы  и  имеют априорные маргинальные (безусловные) вероятности

,                   (4.2.3)

а  и  есть условные априорные вероятности. Искомые апостериорные вероятности после сокращения полученных дробей, составят:

                 (4.2.4)

Легко заметить, что оба выражения (4.2.4) можно объединить в одно:

                            (4.2.5)

Ряд (4.2.5) сдвигается в сторону большего значения t_k, и среднее  составит

.       (4.2.6)

Для численной иллюстрации положим . Результаты сведены в табл. 4.2.1.

Таблица 4.2.1

t	р	p*	m	s2	m*	s*2
1			3	4
5

Увеличивая количество возможных значений интервала и переходя в пределе к непрерывной ПР f_T(t), получим следующее соотношение

,                              (4.2.7)

где .                                               

В частности, для показательной ПР . Таким образом, случайная точка (инспектор) изменяет закон распределения покрывающего ее интервала в сторону больших значений. Прежде чем этот парадокс инспекции был разрешен в 30-40 гг. прошлого века, он изрядно попортил нервы специалистам, занимающимся испытаниями на надежность.

3. Рассмотренная интерпретация является проявлением закономерности более общего характера. Пусть вероятность попадания случайной точки в область пространства, соответствующую dx пропорциональна , где X – положительно-определенная СВ, а  - произвольная положительно‑определенная функция без особенностей. Проделав цепочку рассуждений, аналогичную только что рассмотренной, получим

,                              (4.2.8)

где        .                                                     (4.2.9)                                          

Пусть, например, f_X(x) — ПР гранулометрического спектра порошкового материала (удельная доля числа частиц диаметром среди попавших в поле микроскопа с большой глубиной резкости), частицы которого без большой натяжки можно считать шарами. Для пересчета ПР массогранулометрического спектра (удельной доли массы, содержащейся в частицах диаметром ) нужно положить j(x)=x³. Если частицы имеют форму дисков, то j(x)=x² и т.д. В частности, для частиц игольчатой формы решение совпадает с (4.2.7). Можно решить и обратную задачу, т.е. если путем непосредственных измерений может быть определена f_j, а требуется знать f_X. Поделив (4.2.8) на j( ), проинтегрируем левую и правую части по всей полубесконечной прямой:

.                (4.2.10)

Разрешая (4.2.8) относительно f_X с учетом (4.2.10), получим:

.                (4.2.11)