Интерполяционный многочлен Лагранжа

На отрезке [a,b]  в узлах интерполяции х₀, х_1,…, х_n задается функция f(x) своими n + 1 значениями у₀ = f(x₀), …, y_n=f(x_n) .

Требуется построить многочлен L(х),  совпадающий в узлах интерполяции  х₀, …, х_n со значениями заданной функции:

L(x₀) = y₀, …,  L(x_n) = y_n  , где h = x_i+1 – x_i ¹ const  – шаг интерполяции.

Представим многочлен

 ,

где a_i (i = 0, 1 , 2, …, n) неизвестные постоянные коэффициенты, которые нам необходимо найти.

Пусть L_n(x) в узлах интерполяции х₀, х₁, …, х_n принимает значения     L_n(x₀) = у_{n .}

Тогда в узле интерполяции х₀ имеем

 ,

 ,

…

 .

Запишем это в виде системы n + 1 уравнений с n + 1 неизвестным

а₀ , а₁, а₂, …, а_{n .}

где x_i  и y_i (i = 0, 1,…, n) – табличные значения аргумента и функции.

Находим значения неизвестных, как

; ; ; … ;   ,

где  – определитель системы.

Если ¹ 0, то система имеет единственное решение

.

Перепишем этот многочлен в другой форме

,

где

удовлетворяет следующим условиям:

 .

В точках x₀, x₁, … , x_i-1, x_i+1 , … , x_n функция Q_i(x) обращается в ноль, а в точке х_i   равна 1 .

Окончательно получаем

 .

Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа

 ,

где х₀, х₁,…. х_n – узлы интерполяции, а х – значение аргумента, для которого определяется приближенное значение по интерполяционной формуле Лагранжа.

Обозначим произведение элементов первой строки через R₀:

.

В общем виде произведение элементов i строки

 .

Дополнительно вычислим произведение элементов, расположенных на главной диагонали

 ,

тогда интерполяционный многочлен Лагранжа можно переписать в виде

 .

Интерполяционная формула Лагранжа заметно упрощается, если узлы интерполяции равноотстоящие, т.е.  .

Обозначим q = (x - x₀)/h , тогда

 .

Введем обозначения:

…

 ,

тогда

 .

Заметим, что часть произведения в знаменателе равна

,

а другая

 .

Умножив числитель и знаменатель правой части последнего равенства на (-1)^n-i(q - i), получим

 ,

где

.

Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов интерполяции теперь можно записать в виде

 .