Понятие предела для векторов и матриц

Пусть дана последовательность векторов

 ;  ; …                                  (3.1)

с координатами  ; …  . Если у каждой координаты существует предел  , т.е.

                                      … ,   …  , …,     …   

то вектор    называется пределом последовательности векторов  .

Аналогично, если имеется последовательность квадратных матриц

;

;                                  (3.2)

                                                                   …         ;

.

с элементами a_ij⁽¹⁾, … , a_ij^(k); где i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n; то пределом последовательности матриц  А⁽¹⁾, … , А^(k)  называется матрица с элементами

 .

Сама же последовательности  А⁽¹⁾, ... , А^(k)  называется сходящейся к  А, т.е.

А^(k) = А

или 

 .

Из сказанного выше следует следующее утверждение:

Если последовательность матриц А⁽¹⁾ , … , А^(k) имеет пределом собственную матрицу А и вектора В⁽¹⁾ ,…, В^(k) сходятся к В, то решения систем  А⁽¹⁾Х = В⁽¹⁾, … , А^(k)Х = В^(k)  имеют предел, являющийся решением системы  АХ = В, т.е.

Х^(k) = (А^(k))^-1 В^(k) А^-1В .

Метод простой итерации

Пусть дана система линейных уравнений:

.                            (3.3)

В матричном виде:

 ,

; ;    .                       (3.4)

Предполагая, что диагональные элементы a_ii ¹ 0 ,(j= 1, 2, …, n), выразим х₁ через первое уравнение системы, х₂ – через второе, и т.д.

;

;

…                                                   (3.5)

.

Обозначим  , ,  где i = 1, …, n; j = 1, … , n , тогда

                            (3.6)

Эта система называется системой, приведенной к нормальному виду.

Введя обозначения

,  .

Запишем систему (3.3) в матричной форме  

или

 .                   (3.7)

Решим систему (3.7) методом последовательного приближения, за нулевое приближение возьмем столбец свободных членов:

- нулевое приближение;

- 1-е приближение ;

- 2-е приближение .

Любое приближение вычисляется по формуле X^(k+1) = b + aХ^(k). Если последовательность приближения X⁽⁰⁾, X⁽¹⁾, …, X^(k) имеет предел X  = lim X^(k)  при k ¥, то этот предел является решением системы (3.6) . Поскольку по свойству предела lim X^(k+1) = b +a lim X^(k) , k ¥, тогда X = a + bХ.

Условия сходимости итерационного процесса

Пусть дана приведенная к нормальному виду система линейных уравнений X = b + aХ.  Итерационный процесс и его сходимость зависят от величины элементов матрицы a следующим образом: если сумма модулей элементов строк или сумма модулей элементов столбцов меньше единицы, то процесс итераций для данной системы сходится к единственному решению независимо от выбора начального вектора. 

Следующее условие сходимости можно записать так:

Сходимость итерационного процесса связана с нормами матрицы a следующими соотношениями. Если выполняется одно из условий:

 ,

либо

 ,

либо

 ,

то процесс итераций линейной системы сходится к единственному решению.