Первая интерполяционная формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции

Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в начале таблицы, удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона.

Пусть функция f(x) задана значениями ; ; …;  в равноотстоящих узлах интерполяции , , …,   и требуется построить интерполяционный многочлен  степени n такой, что ; ; …;  .

В силу единственности многочлена степени n, построенного по n + 1 значению функции f(x), многочлен Р_n(x) является разновидностью записи интерполяционного многочлена и совпадает с  Лагранжа.

Будем искать f(x) в виде

.                        (7.3)

В этом выражении неизвестны коэффициенты а₀, а₁, а₂, …, а_{n .}

Найдем а₀, положив х = х₀, тогда

 .

Чтобы найти коэффициент а₁, составим первую конечную разность для многочлена Р_n(x) в точке х. Согласно определению конечной разности имеем

 .

Проведя подстановку, получим

Вычислим первую конечную разность многочлена Р_n(x) в точке х₀. Здесь так же все члены, кроме первого, обратятся в ноль и, следовательно,

 ,

но

 ;  ;   .

Чтобы определить коэффициент а₂, составим конечную разность второго порядка:

 .

После преобразований получим

Полагаем х = х₀: тогда все члены, кроме первого, опять обратятся в ноль  и

,   .

Вычисляя конечные разности более высоких порядков и полагая х = х₀, получим общую формулу для получения коэффициентов

 .

Подставив найденные значения коэффициентов а_i в выражение (7.3), получим первую интерполяционную формулу Ньютона.

        (7.4)

На практике часто используют формулу Ньютона в другом виде:

 ,

где  , h – шаг интерполирования и q –  число шагов.

Если n = 1, то получим формулу линейного интерполирования

.

При n = 2 получим формулу параболического или квадратичного интерполирования

.

Эти формулы удобно применять в начале таблицы, когда q мало по абсолютной величине.

Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для интерполирования в конце таблицы обычно применяют вторую интерполяционную формулу Ньютона.

Пусть на [a,b] даны n + 1 различные значения аргумента х₀, х₁, …, х_{n ,}, которым соответствуют следующие значения

; ; …;  ,

а шаг интерполяции постоянен и равен h, т.е.  .

Построим интерполяционный многочлен вида

В этом многочлене неизвестны коэффициенты а₀, а₁, а₂, …, а_n . Их надо подобрать так, чтобы были возможны равенства:

; ; … ;  .

Для этого необходимо и достаточно, чтобы

 .

Коэффициент а₀ найдем, положив х = х_n  в равенстве (7.4)

откуда

Отсюда, полагая х = х_n-1   имеем  , следовательно

.

Из выражения для второй конечной разности имеем а₂

Полагая х = х_n-2, получим

 ,

откуда

 ,   .

Подставляя найденные значения коэффициентов, получим :

Это и есть вторая интерполяционная формула Ньютона. Положим        q = (x - x_n)/h, тогда

 ;   ;

(7.5)

Первая интерполяционная формула Ньютона используется для интерполирования в начале отрезка [a,b], а вторая – на конечном участке таблицы.