Понятие о системе линейных уравнений

В общем виде система m линейных уравнений с n неизвестными записывается так:

                                      (1.1)

Уравнения системы считаются пронумерованными: первое, второе, - е, – неизвестные, – коэффициенты при неизвестных.

Коэффициент при неизвестном  в i – уравнении обозначается через , j – номер неизвестного.

Кратко система (1.1) может быть записана:

, (i = 1, 2, …, m).                                    (1.2)

Решением системы линейных уравнений называется любая совокупность чисел , которая, будучи подставленной на место неизвестных   в уравнение данной системы, обращает все эти уравнения в тождества. Система (1.1) – совместная, если она имеет решение. Если система не имеет решений, то она называется несовместной или противоречивой.

Совместная система линейных уравнений может иметь одно или несколько решений. Она называется определенной, если имеет одно решение, и неопределенной, если имеет больше одного решения.

Две системы линейных уравнений с одним и тем же числом неизвестных называются эквивалентными, если они обе несовместны или совместны и имеют одни и те же решения.

Пусть дана определенная система n линейных уравнений (1.1). Пользуясь матричными обозначениями её, можно заменить следующим:

 ,                                              (1.3)

где матрица системы     

 ;                                         (1.4)

вектор-столбец неизвестных       

 ;                                                    (1.5)

вектор-столбец свободных членов

 .                                               (1.6)

Матричные уравнения

Рассмотрим три вида матричных уравнений.

1. Уравнение вида . Умножим обе части уравнения на слева:

 , где  .                        (1.7)

Пример:         или  .

Находим обратную матрицу  .  - детерминант матрицы A.

 - алгебраическое дополнение к матрице A.

 ;  .

     2. Матричное уравнение вида:

                                                  (1.8)

Умножим обе части уравнения на справа.

Пример:Решить матричное уравнение

 .

Решение:

 ~ ;  ;

 ;  ;  ;

 ;  ;  ;

 ;  ;  ;

 ;  ;

Матричное уравнение  третьего вида:

.                                                 (1.9)

Для его решения умножим обе части уравнения слева на , а справа на , тогда получим

;

.

Пример:Решить матричное уравнение

 .

Решение:

 ;  ;  ;

 ;  ;  ;

.

Находим сначала , а затем и искомое решение матричного уравнения

; ; ;

 .

ЛЕКЦИЯ 2. ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

СЛАУ допускают как точные, так и приближенные методы решения.

 К точным относятся метод Крамера, метод Гаусса и метод обратной матрицы.

К приближенным методам относятся: метод простой итерации, метод последовательных приближений и метод Зейделя.

Формулы Крамера для решения системы линейных уравнений

Пусть дана система линейных уравнений (для простоты возьмем систему 4-го порядка)

                                (2.1)

Введем специальные обозначения, где D – определитель системы

; ; ; ;                           (2.2)

 .

Если D ¹ 0, то система является определенной, т.е. имеет единственное решение в виде соотношений, которые и называются формулами Крамера

; ; ;  ,                            (2.3)

Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

Элементарными преобразованиями называются следующие 3 типа преобразований:

1. Перестановка двух уравнений системы.

2. Умножение обеих частей уравнений системы на любое число неравное нулю.

3. Прибавление (вычитание) к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число, отличное от нуля.

Пусть дана система

                          (2.4)

Будем исключать неизвестное x₁ из всех уравнений системы (2.4), кроме первого. Назовем x₁ – ведущим неизвестным, а коэффициент a₁₁ – ведущим коэффициентом. Разделив первое уравнение на a₁₁ (это возможно если a₁₁ ¹ 0), получим:

 .

Обозначим

; ; ;  ;

и вообще

, (j > 0) ,

тогда

или

.                                  (2.5)

Дальнейшее решение системы уравнений (2.4) методом Гаусса представляет собой ряд последовательных шагов:

1. Для исключения неизвестного вычтем из второго уравнения системы (2.4) уравнение (2.5), умноженное на a₂₁ :

−

___________________________________________________________

Обозначим

.

Перепишем полученное уравнение в виде

 .

2. Из третьего уравнения системы (2.4) вычтем уравнение (2.5) умноженное на

–

________________________________________________________

Обозначим

.

Перепишем полученное уравнение в виде

 .

3. Из четвертого уравнения системы (2.4) вычитаем уравнение (2.5), умноженное на . Применив аналогичные преобразования, получим следующее уравнение:

 ,

где

 .

В результате элементарных преобразований имеем систему 3-х уравнений с тремя неизвестными, эквивалентную системе (2.4) :

                                (2.6)

 ,

где коэффициент                вычисляется по формуле   

 .

Разделив далее коэффициент первого уравнения системы (2.4)  на ведущий коэффициент , получим первое уравнение системы в виде :

 ,

обозначим , где j > 2 , тогда первое уравнение системы (2.4)  примет вид :

или

 .

Исключая теперь  из всех уравнений системы (2.4), кроме первого, мы получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

,                                    (2.7)

где  ,  .

Разделив коэффициенты первого уравнения системы (2.7) на ведущий коэффициент и ведущий коэффициент     получим

,                                          (2.8)

где    , j > 3, то есть  .

Исключив теперь х₃ , аналогичным путем из системы (2.8), находим:

 ,                                              (2.9)

где

, ;

отсюда

.                                              (2.10)

Остальные неизвестные системы последовательно определяются из уравнений (2.5, 2.8, 2.9, 2.10):

;

;

;

 .

Таким образом, процесс решения системы линейных уравнений по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы уравнений (2.5, 2.8, 2.9, 2.10, …).

Метод Гаусса применим при условии, что все ведущие коэффициенты отличны от нуля.

Для удовлетворения данных условий вычисления проводятся по схеме единственного деления.

ЛЕКЦИЯ 3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

Приближенные методы решения систем линейных уравнений позволяют получать значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов. Процесс повторения такой последовательности называется итерационным (повторяющимся).

Эффективность применения приближенных методов зависит от удачного выбора начального вектора и быстроты сходимости процесса. Мы рассмотрим два метода - метод последовательных приближений и метод Зейделя.