Оценка погрешности интерполяционного многочлена Лагранжа

Интерполяционный многочлен Лагранжа L_n(x) совпадает с функцией f(x) в узлах интерполяции х₀, х₁, х₂, …, х_n. Чтобы оценить степень приближения интерполяционного многочлена в точках, отличных от узлов интерполяции, надо сделать дополнительные предположения о поведении функции f(x), заданной таблично.

Будем считать, что функция f(x) дифференцируема n + 1 раз на отрезке [a,b]. Погрешность  . Введем вспомогательную функцию . Функция   имеет n + 1 корень, т.е. , т.к. в узлах интерполяции   и один из сомножителей  .

Подберем k  таким образом, чтобы , т.е.

,

тогда получим 

.

Определим численное значение коэффициента k. Для этого продифференцируем   n + 1 раз. Так как  обращается в ноль  на [a,b] в n + 2 точках: х₀, х₁, х₂,…, х_n, то на основании теоремы Ролля производная от  обращается в ноль , по крайней мере n + 1 раз на интервале [a, b].

Применим снова теорему Ролля к функции . Вторая производная  обращается в ноль не менее n  раз на интервале (а, b). Продолжая этот процесс, придем к выводу, что производная (n + 1) порядка функции  имеет хотя бы один корень, т.е.  . 

Тогда 

,

но т.к.

 .

Получим

 ,

 .

Полагая, что  M_n+1  = max | f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|   получаем, оценку погрешности   х Î [a, b] для интерполяционного многочлена Лагранжа

 .

ЛЕКЦИЯ 7. КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ

Табулирование функций в большинстве случаев производится для равноотстоящих значений аргумента, т.е. , где i = 0, 1, 2, …, n,    а h – шаг интерполяции. Для вывода интерполяционных формул для равноотстоящих узлов интерполяции введем понятие «конечной разности».

Назовем конечной разностью первого порядка разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции

,

,

…                                                    (7.1)

,

где h = const, или в общем виде

                                         (7.2)

или

 .

Из конечных разностей 1-го порядка можно образовать конечные разности 2-го порядка

 ;  .

В общем виде конечная разность n-ого порядка записывается так:

 .

Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей

 .

 .

Общее выражение для конечной разности n  порядка имеет вид:

.

Свойства конечных разностей:

1. Конечная разность  суммы или разности функций  есть сумма или разность конечных разностей функций

.

2. При умножении функции на постоянный множитель конечные разности умножаются на тот же множитель.

3. Конечная разность m  порядка от конечной разности n порядка равна конечной разности (m + n)  порядка

 .

4. Конечные разности n-ого порядка от многочлена степени                     n – постоянны, а конечные разности (n + 1)  порядка равны нулю.