Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона

Оценка погрешности для интерполяционной формулы Лагранжа:

.

Если все узлы интерполяции равноотстоящие, то, введя шаг  и полагая  , получим оценку погрешности для первой интерполяционной формулы Ньютона(7.4)

,

где Î отрезку интерполяции [x₀, x_n].

Аналогичным образом, для второй интерполяционной формулы Ньютона с равноотстоящими узлами интерполяции, полагая , получим оценку погрешности

,

где  .

ЛЕКЦИЯ 8. ЛИНЕЙНОЕ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ

В тех случаях, когда нет необходимости в отыскании приближенного аналитического выражения функции y = f(x), заданной таблично, требуется лишь определить значение функции в точке, отличной от узла интерполяции, удобно использовать последовательную линейную интерполяцию по Эйткину.

Интерполирование по Эйткину

Вычисление значения функции в точке, отличной от узлов интерполяции, начинается с вовлечения в счет двух узлов интерполяции с последующим включением в схему новых узлов интерполяции.

Пусть некоторый интерполяционный многочлен F(x) степени n принимает в узлах интерполяции х₀, х₁, …, х_n значения

; ; …;   .

Воспользовавшись формулой Лагранжа для случая линейной интерполяции, на отрезке [x₀, x₁] интерполяционное значение функции можно вычислить по формуле

,                     (8.1)

на отрезке [x₁, x₂]

     ,                  (8.2)

и, наконец, на отрезке [x₀, x₂] по формуле

     .                 (8.3)

Далее заменим у₀ и у₂ в формуле (8.3) соответственно на F_0,1(x) и F_1,2(x) .

Получим следующее выражение

,

или

.

Интерполяция и приближение сплайном

Для определенности будем говорить о приближении функции f(x) на [0,1]. Разобьем отрезок на части

и обозначим это разбиение через .

Назовем «сплайном»  порядка m функцию, являющуюся многочленом степени m на каждом из отрезков  , т.е.

 ,

при х_n-1£ x £ x_n   удовлетворяющую условиям непрерывности производных до порядка m – 1 в точках х₁, …, x_n-1:

                                             (8.5)

при .

Всего имеется в распоряжении  неизвестных коэффициентов а_nm, и соотношения (8.5) образуют систему из  линейных алгебраических уравнений.

Другие уравнения для коэффициентов получают из условия близости сплайна к приближаемой функции и из некоторых дополнительных условий.