Механический смысл д.у. второго порядка.

Предположим, что материальная точка массы  движется вдоль оси  под влиянием сил:

                                                                      х

                      0                  

1) сила сопротивления среды , определяемая опытным путем. При малых скоростях сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости, – коэффициент пропорциональности. При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости;

2) восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия, т. е. сила упругости ;

3)  - внешняя сила, направленная вдоль оси .

По второму закону Ньютона сила инерции  уравновешивается всеми силами, действующими на точку. Поэтому уравнение

                                                                      (1)

Есть дифференциальное уравнение движения материальной точки. Разделим на  обе части уравнения (1) и введем обозначения:

                .                                                     (2)

Тогда получим                                                         (3)

К уравнению (1) или (3) приводят следующие задачи:

а) колебания математического маятника

– малое отклонение от положения равновесия. – ускорение свободного падения, ~ . Получим – уравнение свободных гармонических колебаний;

б) колебательный контур

Последовательный колебательный контур состоит из последовательно включенных источника тока, напряжение которого изменяется по закону , например,        

b                                      с    а                                      d

, сопротивления R , индуктивности  и емкости С – постоянные). Найти силу тока в контуре в установившемся (периодическом) режиме.

Последовательный колебательный контур представляет собой электрическую цепь с четырьмя узлами . Применив первый закон Кирхгофа, получим

Откуда , где – искомая сила тока (символом  обозначена сила тока, идущего от узла   к узлу у).

Для падения напряжения  от узла   к узлу у имеем

           .

Согласно второму закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивности, сопротивлении и емкости

                         .                                             (1)

Получилось интегро-дифференциальное уравнение, которое относится к одному из наиболее сложных типов уравнений.

Продифференцировав уравнение (1), придем к обычному дифференциальному уравнению для определения силы тока для

                                   .                                        (2)

Замечание. Если общее решение линейного уравнение

,                        (3)

)                      

имеет вид , где общее решение уравнения

– периодическое с периодом – частное решение уравнения (3), то говорят, что решение – описывает переходный режим, а решение – установившийся режим .

Можно доказать, что если все корни характеристического уравнения  оператора  имеют отрицательные действительные части, то уравнение (3) имеет единственное – периодическое (установившееся) решение.

в) упругие колебания материальной точки массы m около положения равновесия

a        m

– отклонение от положения равновесия , где  - сила упругости. Обозначая , получим - свободные упругие колебания;

г) задача о радиоактивном распаде.

Из опыта известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству вещества в данный момент. Если  – количество вещества, то . Берется знак «минус», т. к. количество вещества уменьшается. Интегрируя, получим  – решение уравнения;

д) системы дифференциальных уравнений.

При описании некоторых процессов получаются системы д.у. Например, в химической кинетике получается система уравнений следующего вида: пусть  и – концентрации двух веществ, участвующих в реакции, тогда

       ,

где – константы.

Геометрические приложения.

В геометрических задачах, в которых требуется найти уравнение кривой по данному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграл с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а так же следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t , нормали n, подкасательной St и поднормали Sn.

М                                              t     y  n                          St x Sn

,   ,                    .

Пример 21. Найти такую кривую, проходящую через точку (0, - 2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной в три раза.

Решение.

Допустим, что искомая кривая описывается функций . Найдем ее. Угловой коэффициент  равен . Имеем  и начальное условие . Решим уравнение   или . Используя начальное условие, получим .

Пример 22. материальная точка массой кг движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента , и обратно пропорционально скорости движения точки. В момент  с скорости равнялась  м/с , а сила  Н. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?

Решение.

По второму закону Ньютона , где k – коэффициент пропорциональности. Найдем k из условия, что в момент   скорость равнялась  м/с, а сила  Н, .

Имеем . Решим уравнение .Произвольную постоянную С найдем из условия: в момент   скорость , т.е. , .

Найдем скорость, которая будет спустя минуту после начала движения:

.

Пример 23. Тело массы   скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость . На тело действует сила трения, равная . Найти расстояние, которое тело способно пройти.

Решение.

Уравнение движения имеет вид . Найдем решение этого уравнения при начальных . Имеем    

 найдем из начальных условий: . Получим . Найдем момент времени t,  при котором тело остановится: . За время  пройденный путь .

Пример 24.К источнику с э. д. с. равной  подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L, омического сопротивления R и емкости С. Найти ток I в цепи как функцию времени t, если в начальный момент ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю.

Решение.

По условию задачи . В этом случае  и уравнение (2) получается однородным

                                                                                (4)

Уравнение (4) аналогично уравнению свободных механических колебаний с учетом сопротивления среды. Решим уравнение (4).

Характеристическое уравнение

имеет корни .

Если , то оба корня  действительные и общее решение есть функция непериодическая. Соответственно апериодическим будет и ток. Никаких электрических колебаний в цепи не произойдет так же и при .

Если же , то корни х.у. будут комплексно-сопряженными и общее решение ,

где положено , определяет электрические колебания.

                    , откуда ,

и, таким образом, начальные условия запишутся в виде

                             .                                                   (5)                  

  найдем, используя начальные условия (5)

                              .

Таким образом .

Упражнения. Составить дифференциальное уравнение и решить его.

1) На материальную точку масса m действует постоянная сила, сообщая точке ускорение а . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен k. Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое?

Ответ: .

2) Найти кривые, у которых поднормаль повсюду равна р.

Ответ: .

3) Кривая проходит через точку (0; 1) и обладает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую.

Ответ: .

4) Сила тока в электрической цепи с омическим сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L удовлетворяет дифференциальному уравнению

                               ,

где Е– электродвижущая сила. Найти зависимость силы тока  от времени, если Е равно   и .

  Ответ: .