Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Механический смысл д.у. второго порядка.
Предположим, что материальная точка массы движется вдоль оси под влиянием сил:
х 0 1) сила сопротивления среды , определяемая опытным путем. При малых скоростях сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости, – коэффициент пропорциональности. При больших скоростях сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости; 2) восстанавливающая сила, стремящаяся вернуть точку в положение равновесия, т. е. сила упругости ; 3) - внешняя сила, направленная вдоль оси . По второму закону Ньютона сила инерции уравновешивается всеми силами, действующими на точку. Поэтому уравнение (1) Есть дифференциальное уравнение движения материальной точки. Разделим на обе части уравнения (1) и введем обозначения: . (2) Тогда получим (3)
К уравнению (1) или (3) приводят следующие задачи:
а) колебания математического маятника
б) колебательный контур Последовательный колебательный контур состоит из последовательно включенных источника тока, напряжение которого изменяется по закону , например,
Последовательный колебательный контур представляет собой электрическую цепь с четырьмя узлами . Применив первый закон Кирхгофа, получим
Откуда , где – искомая сила тока (символом обозначена сила тока, идущего от узла к узлу у). Для падения напряжения от узла к узлу у имеем . Согласно второму закону Кирхгофа электродвижущая сила в цепи равна сумме падений напряжения на индуктивности, сопротивлении и емкости . (1) Получилось интегро-дифференциальное уравнение, которое относится к одному из наиболее сложных типов уравнений. Продифференцировав уравнение (1), придем к обычному дифференциальному уравнению для определения силы тока для . (2) Замечание. Если общее решение линейного уравнение , (3) ) имеет вид , где общее решение уравнения – периодическое с периодом – частное решение уравнения (3), то говорят, что решение – описывает переходный режим, а решение – установившийся режим . Можно доказать, что если все корни характеристического уравнения оператора имеют отрицательные действительные части, то уравнение (3) имеет единственное – периодическое (установившееся) решение. в) упругие колебания материальной точки массы m около положения равновесия
г) задача о радиоактивном распаде. Из опыта известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству вещества в данный момент. Если – количество вещества, то . Берется знак «минус», т. к. количество вещества уменьшается. Интегрируя, получим – решение уравнения; д) системы дифференциальных уравнений. При описании некоторых процессов получаются системы д.у. Например, в химической кинетике получается система уравнений следующего вида: пусть и – концентрации двух веществ, участвующих в реакции, тогда , где – константы. Геометрические приложения.
В геометрических задачах, в которых требуется найти уравнение кривой по данному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используется геометрическое истолкование производной (угловой коэффициент касательной) и интеграл с переменным пределом (площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой), а так же следующие общие формулы для определения длин отрезков касательной t , нормали n, подкасательной St и поднормали Sn.
Пример 21. Найти такую кривую, проходящую через точку (0, - 2), чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной в три раза. Решение. Допустим, что искомая кривая описывается функций . Найдем ее. Угловой коэффициент равен . Имеем и начальное условие . Решим уравнение или . Используя начальное условие, получим . Пример 22. материальная точка массой кг движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента , и обратно пропорционально скорости движения точки. В момент с скорости равнялась м/с , а сила Н. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения? Решение. По второму закону Ньютона , где k – коэффициент пропорциональности. Найдем k из условия, что в момент скорость равнялась м/с, а сила Н, . Имеем . Решим уравнение .Произвольную постоянную С найдем из условия: в момент скорость , т.е. , . Найдем скорость, которая будет спустя минуту после начала движения: . Пример 23. Тело массы скользит по горизонтальной плоскости под действием толчка, давшего начальную скорость . На тело действует сила трения, равная . Найти расстояние, которое тело способно пройти. Решение. Уравнение движения имеет вид . Найдем решение этого уравнения при начальных . Имеем найдем из начальных условий: . Получим . Найдем момент времени t, при котором тело остановится: . За время пройденный путь . Пример 24.К источнику с э. д. с. равной подключается контур, состоящий из последовательно соединенных катушки индуктивности L, омического сопротивления R и емкости С. Найти ток I в цепи как функцию времени t, если в начальный момент ток в контуре и заряд конденсатора равны нулю. Решение. По условию задачи . В этом случае и уравнение (2) получается однородным (4) Уравнение (4) аналогично уравнению свободных механических колебаний с учетом сопротивления среды. Решим уравнение (4). Характеристическое уравнение имеет корни . Если , то оба корня действительные и общее решение есть функция непериодическая. Соответственно апериодическим будет и ток. Никаких электрических колебаний в цепи не произойдет так же и при . Если же , то корни х.у. будут комплексно-сопряженными и общее решение , где положено , определяет электрические колебания. , откуда , и, таким образом, начальные условия запишутся в виде . (5) найдем, используя начальные условия (5) . Таким образом . Упражнения. Составить дифференциальное уравнение и решить его. 1) На материальную точку масса m действует постоянная сила, сообщая точке ускорение а . Окружающая среда оказывает движущейся точке сопротивление, пропорциональное скорости ее движения, коэффициент пропорциональности равен k. Как изменяется скорость движения со временем, если в начальный момент точка находилась в покое? Ответ: . 2) Найти кривые, у которых поднормаль повсюду равна р. Ответ: . 3) Кривая проходит через точку (0; 1) и обладает тем свойством, что в каждой ее точке тангенс угла касательной к этой кривой равен удвоенному произведению координат точки касания. Найти кривую. Ответ: . 4) Сила тока в электрической цепи с омическим сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L удовлетворяет дифференциальному уравнению , где Е– электродвижущая сила. Найти зависимость силы тока от времени, если Е равно и . Ответ: .
|
||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 207. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |