Задача 10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида. Метод подбора или метод неопределенных коэффициентов.

Дано уравнение 

                                                         (1)

С постоянными вещественными коэффициентами .

Общее решение неоднородного уравнения или уравнения с правой частью  равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения

                          .

Для правых частей специального вида частное решение можно найти так называемым методом подбора.

Общий вид правой части   уравнения (1), при котором возможно применить метод подбора, следующий:

                                                    (2),

где  многочлены степени  соответственно.

В этом случае частное решение  уравнения (1) находится в виде

                                                (3),

где – многочлены от –й степени общего вида с неопределенными коэффициентами, а – кратность корня  характеристического уравнения (если  не является корнем характеристического уравнения, то ).

Частные случаи , определяемые формулой (2):

I. .

1) если число  не является корнем х.у., то

                           ,

где – многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами.

2) число   является корнем  кратности , то                            

                                  .

II. , то

если

1)   не является корнем х.у., то

                      , .

2) число   является корнем х.у. кратности  , то

                      .

III. , то

если

1) число   не является корнем х.у., то

                   .

2) число  является корнем х.у. кратности , то

                     .

Замечание. Первые два вида являются частными случаями III вида.

Пример 16. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристической уравнение (х.у.)  имеет различные корни , поэтому общее решение

                           .

Находим частное решение ; это многочлен – не является корнем х.у., поэтому

                             ,

А, В, С – неопределенные (неизвестные) коэффициенты.

Подставляя   в уравнение, получим

                         .

Откуда

Решая систему, находим . Следовательно,                             и общее решение будет

                 .

Пример 17.  Решить уравнение .

Решение.

     .

 – нее является корнем х.у., поэтому

.

Подставляя  в уравнение

.

Приравнивая коэффициенты при  слева и справа, получим систему уравнений относительно неизвестных А и В.

   .

                     .

    .

Замечание. Если правая часть уравнения   (1) имеет вид: , то частное решение уравнения (1) , где – частное решение уравнения ; – частное решение уравнения .

Упражнения. Определить вид частного решения.

1) .         Ответ: .

2) .        Ответ: .

3) .                       Ответ: .

4) . Ответ: .

Для следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений определить вид частного решения не находя числовых значений коэффициентов:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Упражнения. Решить уравнения.

1) .        Ответ: .

2) .         Ответ: .

3) .           Ответ: .

4) .       Ответ: .

Замечание. Следует найти отдельно два частных решения  соответствующие , но можно найти их и вместе.

Задача 11. Решить следующие линейные неоднородные уравнения с правой частью специального вида методом подбора частного решения по виду правой части.