Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Задача № 1. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, его общий интеграл имеет вид . Уравнение , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от и только от называется уравнением с разделяющимися переменными. Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными: . Общий интеграл этого уравнения имеет вид . Замечание. Деление на может привести к потере частных решений, обращающих в ноль произведение . Дифференциальное уравнение , где - постоянные, заменой переменных преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. Пример 1. Решить уравнение Решение. Разделим обе части уравнения на произведение . Получим уравнение с разделенными переменными. Интегрируя его, найдем . После потенцирования получим или . Откуда . Обозначая , будем иметь или . Получили общий интеграл этого уравнения. Функции , и - являются частными решениями. Ответ: - общий интеграл. Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Решение. Имеем или . Разделяем переменные, для этого обе части уравнения делим на произведение . Интегрируя, найдем общий интеграл
в качестве производной константы взяли . После потенцирования, получим или - общее решение исходного уравнения. Найдем константу , используя начальное условие , или отсюда . Искомое частное решение или решение задачи Коши . Ответ: . Упражнения. Решить уравнения 1. . Ответ: . 2. . Ответ: . 3. . Ответ: . 4. . Ответ: или . Решить уравнения с разделяющимися переменными:
Задача 2. Однородные дифференциальные уравнения. Дифференциальное уравнение (д.у.)
Называется однородным д.у. относительно и , если функция является однородной функцией своих аргументов нулевого измерения. Это значит . Например функция - однородная функция нулевого измерения. Однородное д.у. всегда можно представить в виде (1) Введя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравнению с разделяющимися переменными: или переменные разделяются.
Пример 3. Решить уравнение . Решение. Запишем уравнение в виде , разделив на обе части уравнения. Сделаем замену . Тогда , . Получим или . Разделяя переменные, будем иметь . Отсюда интегрированием находим или , так как , то обозначая , получим . Заменяя на , будем иметь общий интеграл , отсюда - общее решение. Ответ: . Упражнения. Решить уравнения 1. . Ответ: . 2. . Ответ: . 3. . Ответ: . 4. . Соберем коэффициенты при . Ответ: .
Решить однородные дифференциальные уравнения.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 189. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |