Задача 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

                                                                                            (1)

где  - заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменным и имеет общее решение

                                            .

Общее решение неоднородного уравнения можно найти следующими способами:

1) методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что

решение уравнения (1) находится в виде

, где - новая неизвестная функция.

2) уравнение (1) может быть проинтегрирован с помощью подстановки , где  - неизвестные функции от .

3) решение уравнения (1) можно найти еще и по формуле

                                .

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно  как функции от . Нормальный вид (коэффициент при  равен 1) такого уравнения

                                                                                        ( )

Пример 4.

Решить уравнение .

Решение. Вид уравнения нормальный

.

  Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. .                Ответ: .

2. .

Приводим к виду ,  и решаем по формуле, которая была выведена на лекциях ( повторить, потому, что вывод спрашивают !) .         Ответ: .

3. .                                       Ответ: .

4. .                    Ответ: .

Уравнение линейное относительно функции . Приводим его к виду

или .

Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

1.	.
2.	.
3.	; .
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Задача 4. Уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли имеет вид

                                                                       (1)

(при   это уравнение является линейным).

Уравнение (1) умножим на  

                                                                                       (2)

Обозначим .

Уравнение (2) умножим на

или

                                                                          (3)

(3) – линейное уравнение относительно переменной .

Таким образом, уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению.

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как линейное уравнение и с помощью подстановки .

Пример 5.

Решить уравнение Бернулли .

  Приведем уравнение к виду

                     .

Обе части уравнения умножим на  и сделаем замену , причем, , получим  - это линейное уравнение относительно .

Получили .

Поэтому .

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. .                          Ответ: .

2. .                         Ответ: .

3. . Ответ: .

Уравнение следует переписать в виде

или - это уравнение Бернулли относительно функции .

4. .                          Ответ: .

Обе части уравнения следует умножить на  и сделать замену .

Решить уравнения Бернулли:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Задача 5. Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида

                                                                           (1)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции  , т.е.

                         .

Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области  изменения переменных  выполнялось условие

                                                                                                      (2)

В этом случае общий интеграл имеет вид   или

                        .

Пример 6.

Решить уравнение .

Решение. Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах

                 .

Получили, что , условие (2) выполнено, значит данное уравнение в полных дифференциалах.

Найдем функцию . Для этого имеем систему:

Из первого уравнения, интегрированием по  при постоянном , определяем :

            ,

где  - произвольная функция (вместо постоянной интегрирования С берем функцию )

Частная производная , найденной функции  должна равняться в силу второго уравнения системы, , что дает

,

.

Отсюда ,

 - общий интеграл.

Ответ: , где .

Упражнения. Решить уравнения

1. .                                         Ответ: .

2. .                                      Ответ: .

3. .     Ответ: .

4. .                                   Ответ: .

,

 уравнение в полных дифференциалах.

Проинтегрировать уравнения в полных дифференциалах: