Задача 12. Метод вариации произвольных постоянных, метод Лагранжа.

Рассмотрим метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка

                                                                           (1)

Если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

                         ,                                                 (2),

то общее решение неоднородного уравнения (1) может быть найдено методом вариации постоянных (метод Лагранжа).

Общее решение уравнения (2) имеет вид

                              ,                                                            (3)

где  – фундаментальная система решений (ф.с.р.),

  – произвольные постоянные.

Решение уравнения (1) будем находить в виде

                              ,                                                 (4)

где – некоторые пока неизвестные функции от х. Для их определения получаем систему

                                                                                   (5)

Решая (5) относительно , получим

                                                   (6)

                    – определитель Вронского.

                   , т. к.  – ф. с. р.

Из (6) находим

,

где  – постоянные интегрирования.

Пример 18. Решить уравнение .

Решение.

Соответствующее однородное уравнение будет .

Его характеристическое уравнение  и общее решение имеет вид .

Общее решение исходного уравнения имеем в виде

                                                                                  (*)

– ф. с. р.

 – неизвестные функции от .

Для их нахождения составим систему

Решаем эту систему относительно :

                                .

Интегрируя, находим

                       .

Подставляя выражения   в (*), получаем общее решение искомого уравнения

               .

Здесь – частное решение исходного уравнения.

Упражнения. Решить уравнения.

1) . Ответ: .

2) . Ответ: .

3) .      Ответ: .

4) .   Ответ: ,

                                     или .

Решить методом вариации произвольных постоянных следующие уравнения:

1. .	4. .
2. .	5. .
3. .	6. .
7. .	19. .
8. .	20. .
9. .	21. .
10. .	22. .
11. .	23. .
12. .	24. .
13. .	25. .
14. .	26. .
15. .	27. .
16. .	28. .
17. .	29. .
18. .	30. .

Рассмотрим задачу ,                                                      (1)

                              ,                                                      (2)

                             ,                                       (3)

где – ф.с.р. Если – нормированная ф.с.р., т. е , то решение задачи Коши (1), (2) запишется в виде

                       .                             (4)

Пример 19. Решить методом Коши

               .

Решение.

– корни х.у.,  – ф.с.р.

Найдем нормированную ф.с.р.:

  будем находить в виде линейной комбинации решений  и :

а) ,

б)

.

Вычислим интеграл:

Подставим в решение .

Задача 13. Решить неоднородные линейные дифференциальные уравнения с правой частью неспециального вида методом Коши.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .

Задача 14. Решить неоднородные линейные дифференциальные уравнения с разрывной правой частью методом Коши.

Пример 20. Решить методом Коши

Решение. Составим характеристическое уравнение: – ф.с.р.

Найдем нормированную ф.с.р. :

а) ,

  ;

б) ;

;

где

1. ;

2.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

Задача 15. По условию задачи составить дифференциальное уравнение и решить его.

Дифференциальные уравнения являются математической моделью реальных процессов. При составлении д.у. мы пользуемся законами конкретных наук, таких как физика, химия, биология, экономика. Рассмотрим несколько примеров.