Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Общие сведения

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания и варианты расчётной работы

для студентов 1-2 курсов технических специальностей.

Для выполнения типового расчета по обыкновенным дифференциальным уравнения (д. у.) рекомендуется изучить теоретический материал по следующим  вопросам:

Дифференциальные уравнения первого и высших порядков [1-10].

1. Основные понятия теории д.у. Задача Коши для д.у. первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

2. Д.у. первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным.

3. Линейные уравнения первого порядка, уравнения Бернулли.

4. Уравнения в полных дифференциалах.

5. Д.у. высших порядков, допускающие понижение порядка.

6. Линейный дифференциальный оператор, его свойства. Линейное однородное дифференциальное уравнение, свойства его решений.

7. Условие линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения.

8. Линейное однородное д.у. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

9. Линейное неоднородное д.у. Структура общего решения.

10. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

11. Линейные однородные д.у. с постоянными коэффициентами (случай простых и кратных корней характеристического уравнения вещественных и комплексных).

12. Линейные неоднородные д.у. с постоянными коэффициентами с правыми частями специального вида. Метод подбора частного решения по виду правой части с помощью неопределенных коэффициентов.

13. Решение линейных неоднородных уравнений с правой частью неспециального вида методом Коши.

ЗАДАЧИ № 1-15

Задачи № 1-№ 5. Уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним, однородные и приводящиеся к однородным, линейным уравнения, уравнение Бернулли, уравнение в полных дифференциалах.

Задача № 6. Смешанные задачи на д.у. первого порядка. Определить тип уравнения и указать в общем виде метод решения.

Задача № 7. Смешанные задачи на д.у. первого порядка. Определить тип уравнения и решить.

Задача № 8.Уравнения, допускающие понижение порядка.

Задача № 9. Однородные линейные д.у. второго и высших порядков.

Задача № 10 - №11. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида.

Задача № 12. Метод Лагранжа, метод вариации постоянных.

Задача № 13. Решить методом Коши задачу Коши для линейных неоднородных д.у. с непрерывной правой частью неспециального вида.

Задача № 14. Решить методом Коши задачу Коши.

Задача № 15. Решить методом Коши задачу Коши для д.у. с разрывной правой частью.

Задача № 16. Решить неоднородную систему ОДУ методом вариации произвольных постоянных.

Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной. Общие сведения

Д.У. первого порядка это равенство, содержащее неизвестную функцию , производную  и переменную , от которой зависит . Общий вид д.у. первого порядка

                                                                                                     (1)

Обычно уравнение (1) стараются представить в форме, разрешенной относительно производной:

                                                                                                     (2)

или в форме, содержащей дифференциалы:

                                                                                     (3)

От формы (2) можно перейти к форме (3) и наоборот.

В самом деле, если в уравнении (2) заменить  через , умножить обе части уравнения на  и перенести все члены в одну сторону, то получим

                                    ,

Что представляет собой форму (3), где , а .

Наоборот, член уравнения (3) вправо и разделить обе части уравнения на , предполагая, что , то получим , т.е. форму (2), где .

Таким образом, Формы (2) и (3) совершенно равноправны, в дальнейшем используется та или другая форма.

Еще раз подчеркнем, что для того, чтобы от формы (2), перейти к форме (3) надо  записать как отношение   и , т.е.  деленное на .

Чтобы от формы (3) перейти к форме (2), из равенства (3) надо выразить отношение (частное) .

Дифференциальному уравнению удовлетворяет, вообще говоря, целая система функций.

Для выделения одной из них следует указать ее значение при каком-либо значении аргумента , т.е. задать условие вида  при , которое называют начальным условием. Часто его записывают в виде

                                                                                                      (4)

Решение уравнения (2) с условием (4) называют еще задачей Коши.

Решение.

  (или интеграл ) д.у. (2), зависящие от произвольного постоянного С, называется общим решением (общим интегралом) д.у. (2), если путем подбора значений произвольного постоянного из него можно получить частное решение (частный интеграл), удовлетворяющее любому возможному начальному условию . (смотри теоремы существования и единственного решения задачи Коши).

Практически для определения С следует подставить в общее решение (общий интеграл) вместо  заданные значения  и  и разрешить уравнение

Относительно произвольного С. Пусть , тогда частное решение будет  (соответственно частный интеграл ).

Перейдем к рассмотрению отдельных типов дифференциальных уравнений, нахождение общих решений (общих интегралов) которых сводится к выполнению обычных операций вычисления интегралов.

В задачах № 1 - № 5 найти общее решение  или общий интеграл  и, где указано, решить задачу Коши.