Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим  дифференциальное уравнение

                         ,                                            (1)

где  - вещественные постоянные числа. Решение уравнения (1) находим в виде 

                                                    - подстановка Эйлера                          (2)

 - неизвестная постоянная. Подставляя (2) в (1), получим уравнение

                                            ,                                        (3)

которому удовлетворяет .

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением.

Пусть  - корни уравнения (3), причем среди них могут быть и кратные.

Возможны следующие случаи:

1)  - вещественные и различные

Тогда фундаментальная система решений уравнения (1) имеет вид  и общим решением искомого уравнения будем

                    .

2) Корни характеристического уравнения вещественные, но среди них есть кратные. Пусть, например,

                    , т. е.  – является  – кратным корнем уравнения (3), а остальные  корнем различные.

Фундаментальная система решений в этом случае имеет вид

               ,

а общее решение

         .

3) среди корней характеристического уравнения есть комплексные числа.

Пусть для определенности

,

А остальные корни вещественные (комплексные корни попарно сопряженные, т. к. по предположению коэффициенты уравнения (3)  – вещественные).

Фундаментальная система решений имеет вид

а общее решение

4) в случае, если   является – кратным корнем уравнения (3), то  также будет – кратным корнем и фундаментальная система решений будет иметь вид

а общее решение

Пример 12. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Составляем характеристическое уравнение .

Находим . Так как все они действительные и различные, то общее решение имеет вид  .

Пример 13.  Найти общее решение уравнения .

Решение.

Характеристическое уравнение имеет вид 

.

Отсюда . Корни вещественные, причем один из них  – двукратный, поэтому общее решение имеет вид

               .

Пример 14. Решить уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение  имеет корни , , .

Общее решение

               .

Пример 15. Решить уравнение .

Решение.

Характеристическое уравнение   или  имеет корни – однократный и – пара двукратных

мнимых корней. Общее решение

              .

Упражнения. Проинтегрировать следующие однородные линейные уравнения.

1) .   Ответ: .

2) .   Ответ: .

3) . Ответ:          

                                                                         .

4)     Ответ: ,

                                    . .

Решить однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6	.
7.	.
8.	.
9.	.
10.	.
11.	.
12.	.
13.	.
14.	.
15.	.
16.	.
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.	.
27.	.
28.	.
29.	.
30.	.

Указание. Воспользоваться формулой извлечения корня –й степени из комплексного числа

                        ,

.