Прямая и обратная геодезические задачи

Цель работы: научиться решать прямые и обратные геодезические задачи.

Краткие теоретические сведения

Обработка результатов полевых измерений на местности, проводимая при составлении планов, решении ряда задач при проектировании сооружений и геодезической подготовке данных для выноса проекта в натуру, связаны с решением прямой и обратной геодезической задач.

Прямая геодезическая задача

Сущность прямой геодезической задачи заключается в следующем: известны координаты одной из точек, например, точки А (х_А, у_А), дирекционный угол стороны АВ – α_АВ и её горизонтальная проекция d_АВ (рис. 7). Требуется определить координаты второй точки В (х_В, у_В).

Рис. 7.  схема к решению прямой и обратной геодезических задач

Проведя через точки А и В линии, параллельные координатным осям, получим прямоугольный треугольник АВС, в котором известны гипотенуза d_АВ и острый угол r_АВ= α_АВ. Катеты этого треугольника есть приращения координат Δх и Δу, которые могут быть получены по формулам:

        Δх=± d_АВ·cos r_АВ= d_АВ·cos α_АВ; Δу=± d_АВ·sinr_АВ= d_АВ·sinr α_АВ.   (2)

Если расчёты Δх и Δу выполняются по румбам, необходимо правильно выбрать знаки приращений координат. Они будут зависеть от четверти, в которой находится данное направление, четверть зависит от значения дирекционного угла (табл. 2).

Таблица 2

Соотношения между дирекционными углами и румбами

контроль вычисления приращений координат:

.                                                         (3)

координаты искомой точки В определяются по формулам:

х_В=х_А+Δх; у_В=у_А+Δу.                                              (4)

приращения координат и координаты искомой точки вычисляются с точностью, соответствующей точности измерения горизонтальной длины линии.

Этим способом можно найти координаты любого числа точек по правилу, вытекающему из формулы (4): координаты последующей точки равны координатам предыдущей точки плюс соответствующее приращение со своим знаком.