Использование математического пакета MathCad в расчетах

По нахождению интегралов от функций

При вычислении неопределенных интегралов (первообразной), предусмотрен отдельный шаблон интеграла на панели Калькулус. Во многих случаях получаемый результат сильно отличается от ожидаемого и приходится применять операторы сокращений, приведения, чтобы упростить полученное выражение. Если первообразная не может быть вычислена аналитически через элементарные функции, то она может быть найдена посредством выдачи специальных функций, таких как интегральный синус и т.п.

Если же требуется вычислить определенный интеграл, то задача кажется проще по той причине, что определить интеграл можно как численно, так и символьно. Численное интегрирование в MathCad настолько полифункционально, что можно вычислить практически любой интеграл, так как в каждом конкретном случае методы выбирается автоматически, конечно, метод можно выбрать и вручную через контекстное меню, но нецелесообразно.

Точность проводимых вычислений регулируется встроенной переменной TOL (по умолчанию TOL задается равным 10^-3). Для большинства однократных интегралов рекомендуется выбирать значение TOL в диапазоне 10^-3¸10^-6.

Если задача поиска интеграла требует проведения предварительных исследований, связанных с нахождением пределов интегрирования, то пакет MathCad предоставляет пользователю возможности нахождения абсцисс точек пересечения, как корней нелинейного уравнения y₁(x) = y₂(x). После этого можно переходить к расчету определенного интеграла.

Пример 7.2.

Найти определенный интеграл    

Решение.

Используем символьный оператор интеграла и вычислим:

Результат аналогичен уже найденному.

Пример 7.3

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y1(x) = 2x²+2,
y2(x) = -3x² + 4.

Решение.

Введем функции и построим графики двух функций в одной координатной плоскости.

Определим абсциссы точек пресечения с помощью solve:

Тогда определенный интеграл можно записать как:

при этом пределы интегрирования можно вписать элементами вектора а (отрицательный расположить внизу, положительный – принять за верхний предел).

Но не всегда Solve может дать ответ, в этом случае поможет ввод вычислительного блока с помощью Given:

После этого можно рассчитать интеграл:

Рисунок показывает, что графики функций имеют две точки пересечения, которые введены в переменные b1 и b2.

Таким образом, использование вычислительного блока позволяет находить численное значение определенного интеграла.

Задание для лабораторной работы №7.

Известно, что некоторое вещество образуется в реакции со скоростью, описываемой функцией W=Ne^t+5. Определить количество образованного вещества за время [N/10,(N+1)/10], используя для расчета при n=20:

а) формулу Ньютона-Лейбница;

б) формулу прямоугольников;

в) формулу трапеций;                        

г) формулу Симпсона;

д) провести сравнительный анализ ошибки вычисления

е) пакет MathCad, определяя численное значение интеграла посредством Solve и строя график функции;

ж) пакет MathCad, определяя численное значение интеграла посредством введения вычислительного блока.

Контрольные вопросы

1. Чем заменяется интеграл при использовании любой численной формулы?

2. Какая формула используется в методе прямоугольников?

3. Как будет выглядеть графически метод прямоугольников?

4. Какая формула используется в методе трапеций?

5. Как будет выглядеть графически метод трапеций?

6. Какая формула используется в методе Симпсона?

7. Как будет выглядеть графически метод Симпсона?

8. Каков порядок метода трапеций?

9. Какой порядок метода Симпсона?

10. Укажите, в чем различие между этими тремя формулами?

Тестовые вопросы

Вопрос 1.

Как наглядно представлена матрица размером 3х3:

1.Таблица, имеющая 2 строки и 3 столбца

2.Таблица, имеющая 3 строки и 3 столбца

3.Таблица, имеющая 3 строки и 2 столбца

4.Таблица, имеющая 2 строки и 2 столбца

Вопрос 2.

Обратная матрица существует лишь для …

1. Невырожденных матриц

2. Вырожденных матриц

3. Собственных матриц

4. Несобственных матриц

Вопрос 3.

Какой вид решения системы линейных алгебраических уравнений не существует?

1. Метод Гаусса

2. Метод Крамера

3. Метод Кантора

4. Метод линейных преобразований

Вопрос 4.

Приведение матрицы к ступенчатому виду – это суть …

1. Метод Гаусса

2. Метод Крамера

3. Метод Кантора

Вопрос 5.

Существование решение СЛАУ – это вопрос о …

1. Обычности СЛАУ

2. Совместности СЛАУ

3. Общности СЛАУ

4. Конечности СЛАУ

Вопрос 6.

Верно ли утверждение, что «Если ранг матрицы не совпадает с количеством ее строк, то она вырождена»

1. Нет

2. Не знаю

3. Да

Вопрос 7.

Собственные значения матрицы ищутся путем нахождения чисел…

1.которые при их вычитании из элементов главной диагонали приводят определитель матрицы к нулю.

2. которые при их сложении с элементами главной диагонали приводят определитель матрицы к нулю.

3. которые при их делении на элементы главной диагонали приводят определитель матрицы к нулю.

4. которые при их умножении на элементы главной диагонали приводят определитель матрицы к нулю.

Вопрос 8.

Для невырожденной матрицы количество собственных значений может быть … ее ранга

1.больше

2. меньше

3. больше или равно

4. меньше или равно

Вопрос 9.

Пара <собственное значение | вектор> для матрицы называется ее …

1. рангом

2. радугой

3. спектром

4. числами

Вопрос 10.

Если исходная величина измеряется в «куб.см.», то ее абсолютная погрешность измеряется в…

1. %

2. кв. см.

3. куб.см.

Вопрос 11.

Если исходная величина измеряется в «куб.см.», то ее относительная погрешность измеряется в…

1. %

2. кв. см.

3. куб.см.

Вопрос 12.

Определите нижнюю границу изменения числа х=12,3456 с точностью до Δх=0,002:

1. 12,3457

2. 12,35

3. 12,344

4. 12,348

Вопрос 13.

Определите верхнюю границу изменения числа х=12,3456 с точностью до Δх=0,002:

1. 12,3457

2. 12,35

3. 12,344

4. 12,348

Вопрос 14.

Известно, что концентрация вещества М была измерена в зависимости от времени t.

Как удобнее отображать график?

1. Концентрация М – на оси ординат, Время t – на оси абсцисс

2. Концентрация М – на оси абсцисс, Время t – на оси ординат

3. Концентрация М и Время t – на оси абсцисс

4. Концентрация М и Время t – на оси ординат

Вопрос 15.

Известно, что концентрация вещества М была измерена в миллимолях. На оси, соответствующей изменению вещества М стоят целые числа. Какая надпись для оси будет верной?

1.М*10^-3 молей

2. М*10³ молей

3. М*10^-2 молей

4. М*10² молей

Вопрос 16.

Известно, что концентрация вещества М имеет вид: М=1,5*е^-0,23t. Как называется закон изменения вещества М?

1.Эмпирический

2. Эквивалентный

3. Экспоненциальный

4. Энергетический

Вопрос 17.

Известно, что концентрация вещества М подчиняется закону: М=1,5*е^-0,23t. Исходя из него, какова начальная концентрация вещества?

1. 0,23

2. -0,23

3. -1,5

4. 1,5

Вопрос 18.

Известно, что концентрация вещества М подчиняется функциональному закону: М=1,5*е^-0,23t. Определите тип функции

1. возрастающая

2. убывающая

3. константа

4. скачкообразная

Вопрос 19.

Известно, что концентрация вещества М подчиняется функциональному закону: М=1,5*е^-0,23t. Предполагая, что время бесконечно, к какой величине устремится значение концентрации вещества М?

1.бесконечно большому

2. бесконечно малому

3. положительной бесконечности

4. отрицательной бесконечности

Вопрос 20.

Известно, что концентрация вещества М имеет вид: М=1,5*е^-0,23t. Предполагая, что ось абсцисс – это время t, а ось ординат – Ln(M), как будет изображен график изменения вещества М в зависимости от времени.

1.как парабола

2. как кубическая парабола

3. как экспонента

4. как линия

Вопрос 21.

Известно, что концентрация вещества М имеет вид: М=1,5*3^-0,23t. Какое преобразование функции M(t) приведет ее к линейному виду?

1.е^М

2. М^е

3. Log₃(M)

4. М³

Вопрос 22.

Как называется действие, приводящее исходную функцию к линейному виду?

1. линейность

2. линеаризация

3. подобие

4. однотипность

Вопрос 23.

Как называется линия для графика функции, которая лучше всего показывает тенденцию изменения функции?

1.линия сближения

2. линия приближения

3. трендовая линия

4. ориентированная линия

Вопрос 24.

Название метода наименьших квадратов происходит от задачи поиска

1. максимума суммы квадратов отклонений

2. минимума суммы квадратов отклонений

3. максимума разности квадратов отклонений

4. минимума разности квадратов отклонений

Вопрос 25.

Термин «эмпирическая кривая» соответствует построению графика по …

1.внешним данным

2. внутренним данным

3. исходным данным

4. экспериментальным данным

Вопрос 26.

Система дифференциальных уравнений, составленная для схемы процесса, показывает изменение…

1. кинетических констант

2. скоростей концентраций реагентов

3. кинетических кривых

4. скоростей роста температуры

Вопрос 27.

Верно ли утверждение «Чем выше порядок численного метода решения дифференциального уравнения, тем ближе расчетная кривая к экспериментальной кривой »

1. да

2. нет

3. не знаю

Вопрос 28.

Если первый метод аппроксимирует функцию с погрешностью 0,0001, а второй – с погрешностью 0,001, то…

1. Первый метод имеет более высокую точность

2. Второй метод имеет более высокую точность

3. Точности обоих методов совпадают

Вопрос 29.

Какое существует ограничение применимости метода Симпсона для численного расчета интеграла

1. число разбиений n – должно быть нечетным

2. число разбиений n – должно быть четным

3. ограничений нет

Вопрос 30.

Как иначе называются численные методы интегрирования

1. Линейные формулы

2. Квадратурные формулы

3. Кубатурные формулы

4. Тетраэдные формулы

Литература:

1. Голицына О.Л., Попов И.И. Основы алгоритмизации и программирования: учебное пособие. – 2-е издание. – М.: ФОРУМ: ИНФРА. – М.2006. – 432 с. 

2. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики: учебное пособие для ВУЗов. – М.: Астрель, 2007. - 654 с.

3. Костомаров Д.П., Корухова Л.С., Манжелей С.Г. Программирование и численные методы. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2001.
– 224 с.  

4. Соболь Б.В., Месхи Б.Ч., Пешхоев И.М. Практикум по вычислительной математике. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. – 342 с.

5. Акишин Б.А., Эркенов Н.Х. Прикладные математические пакеты. Часть 1. MathCad: учебное пособие. ‑ М.:ИП РадиоСофт, 2009.
 – 132 с.

6. Сабитова Г.С. Лабораторный практикум по информационным технологиям в математике: учебное пособие для студентов 3-го курса по спец. «050201 – математика и информатика». - Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. акад., 2006. – 176 с.

7. Гурский Д.А., Турбина Е.С. Вычисления в MathCad 12. – СПб.: Питер, 2006. ‑544 с.

Учебное пособие