Погрешности арифметических операций

Предельная абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых, т. е.

D_u = D_x + D_y

Из формулы следует, что предельная абсолютная погрешность суммы не может быть меньше предельной абсолютной погрешности наименее точного из слагаемых, т. е. если в состав суммы входят приближенные слагаемые с разными абсолютными погрешностями, то сохранять лишние значащие цифры в более точных не имеет смысла.

Пример 1.7.

Найти сумму приближенных чисел, все цифры которых являются верными в широком смысле, и ее предельную абсолютную и относительную погрешности u=0,259+45,12+1,0012.

Решение.

Предельные абсолютные погрешности слагаемых здесь равны соответственно 0,001; 0,01; 0,0001.

Суммирование производится, согласно следующим правилам:

1) Выделяется наименее точное слагаемое (слагаемые) и оставляется без изменения;

2) Остальные числа округляются по образцу выделенных, оставляя один или два запасных знака;

3) Складываются данные числа, с учетом всех сохраненных знаков;

4) Полученный результат округляется до точности наименее точного слагаемого.

Итак, за можно взять D_u = 0,001 + 0,01 + 0,0001 = 0,0111, округление полученного числа совпадает с D_u = max {0,001; 0,01; 0,0001) = 0,01, то за оценка суммы приближенных чисел будет иметь вид:

U = 0,259+45,12+1,0012 » 0,26+45,12+1,00=46,38±0,01

Если все слагаемыев сумме имеют один от же знак, то предельная относительная погрешность суммы не превышает наибольшей из предельных относительных погрешностей слагаемых:

δ_u £ max (δ_x1, δ_x2, … , δ_xn)

При вычислении разности двух приближенных чисел и = х. - у ее абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого,, а предельная относительная погрешность

δ_{u =} (D_x + D_y) / |x-y|

Предельная относительная погрешность произведения u = x*y приближенных чисел, отличных от нуля, равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т.е.

δ_{u =} δ_x + δ_y

Предельная относительная погрешность частного равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.