Элементы теории погрешностей

Приближенным значением некоторой величины а называется число а_р, которое незначительно отличается от точного значения этой величины.

Абсолютной погрешностью D приближенного значения называется модуль разности между точным и приближенным значениями этой величины:

D = | a – a_p |

Относительной погрешностью приближенной величины а_р называется отношение абсолютной погрешности приближенной величины к абсолютной величине ее точного значения:

δ = D / |a|

или

D = δ*|a|

На практике, как правило, точное значение величины неизвестно. Поэтому вместо теоретических понятий абсолютной и относительной погрешностей используют практические понятия предельной абсолютной погрешности и предельной относительной погрешности.

Под предельной абсолютной погрешностью приближенного числа понимается всякое число D_а, не меньшее абсолютной погрешности этого числа:

D = |а- a_р |< D_а

Неравенство позволяет для точного значения величины получить оценку

а_р- D_а<а<а_р+ D_а

Часто это неравенство записывают в другой форме

а = а_р ± D_а = а_р(1± δ_а)

На практике в качестве предельной абсолютной погрешности выбирают наименьшее из чисел D_а, удовлетворяющих неравенству, однако это не всегда возможно.

Пример 1.1.

Оценить предельную абсолютную погрешность приближенного значения а_р = 2,72 числа е , если известно, что е = 2,718281828…

Решение.

Очевидно, что |a_p – e| < 0,01. Следовательно, D_а=0,01. Справедливо неравенство |a_p – e | = | 2,720 – 2,71828…| < 0,002. Получаем другое значение предельной абсолютной погрешности D_а=0,002. Это значит, что следует выбрать наименьшее из найденных значений предельной погрешности, так как это позволит сузить диапазон, в котором находится точное значение изучаемой величины.

Иногда задают условие, характеризующее вид определяемой погрешности. Так, если требуется погрешность в виде числа

D_а = #×10^m                                      (*)

то можно ограничиться найденным числом D_а=1×10^-2. Если же требуется определить погрешность как число

 D_а = #.#×10^m                                                  (**)

то необходимо досчитать неравенство |a_p – e |:

|a_p – e |=| 2,720 – 2,71828…|<0,0018=1,8×10^-3.

Какую из погрешностей выбрать, нужно решить самому исследователю, поскольку, очевидно, что каждая из них будет давать больший (в первом случае) или меньший (во втором случае) интервал покрытия истинного значения e.

е = 2,72 ± 0,01 или е = 2,72 ± 0,0018.

Таким образом, величина предельной абсолютной погрешности в различных условиях задачи может разной.

Предельной относительной погрешностью данного приближенного числа называется любое число, не меньшее относительной погрешности этого числа:

δ £ δ_а

Так как справедливо неравенство:

δ = D /|a| £ D_а /|a|

то можно считать, что предельные абсолютная и относительная погрешности связаны формулой:

δ_а = D_а /|a|       или  D_а = |a|* δ_а

Если абсолютная погрешность D_а значительно меньше точного значения |а|, то относительную погрешность определяют приближенно как отношение абсолютной погрешности к приближенному значению:

δ_а = D_а /|a_p|, D_а » |a_p|* δ_а

Часто в формуле вместо знака «»» используют знак точного равенства « = ».

Относительную погрешность иногда задают в процентах.

Пример 1.2.

Оценить предельную относительную погрешность приближенного значения а_р = 2,72 числа е, если известно, что найдены два значения предельных абсолютных погрешностей 0,01 и 0,0018, воспользовавшись последним равенством.

Решение.

Используем формулу δ_а = D_а /|a_p|, где а_р = 2,72.

Найдем δ₁ = 0,01/2,72 = 0,0037 = 0,37%

Найдем δ₂ = 0,0018/2,72 = 0,00066 = 0,066%.

Видно, что первая погрешность на порядок больше второй, но, обобщая результаты, можно утверждать, что погрешность и в том, и в другом случае достаточно мала, чтобы влиять на само число a_p, поэтому в данной задаче, в качестве предельной абсолютной погрешности, нужно взять первое число, то есть 0,01, при этом предельная относительная погрешность не превысит 0, 37%.

Значащие цифры

Значащими цифрами в записи приближенного числа называются:

- все ненулевые цифры;

- нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами;

- нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении.

Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего п-й значащей цифре, считая слева направо.

Иногда это определение перефразируют:

Первые n значащих цифр в записи приближенного числа называются верными в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего n – ой значащей цифре.

Пример 1.3.

Определить значащие цифры в записи чисел:

а) а_р=2,4537, D_а=0,02539;

б) а_р=0,03278, D_а=0,02539;

в) а_р=27080, D_а=1245.

Решение

а) Выпишем значение абсолютной погрешности в виде формулы (*):

D_а = 0,03 = 3×10^-2

Тогда а_р = 2,46 и можно определить верную запись для величины а как а = 2,46 ± 0,03, однако, если приближенное число а_р является промежуточным результатом, то оставляют погрешность в виде (**):

D_а = 0,025 = 2,5×10^-2

и запись величины а будет иметь вид: а = 2,454 ± 0,025.

б) при решении этого пункта сразу будем выписывать абсолютную погрешность числа в виде формулы (**), поскольку видно, что и само число а_р, и его погрешность – числа одного порядка:

D_а = 0,025 = 2,5×10^-2

Такой результат, когда и приближенное число, и его погрешность сравнимы, свидетельствует, что число найдено очень грубо. В таких случаях иногда требуется проведение дополнительных исследований для уменьшения значения абсолютной погрешности.

Тогда верная запись числа будет следующей: а_р = 0,033, а истинную величину а можно записать как: а = 0,033 ± 0,025 = (3,3 ± 2,5) ×10^-2.

Последняя запись наиболее логична, поскольку сразу иллюстрирует, как соотносятся друг с другом число и погрешность.

в) Выпишем абсолютную погрешность в виде формулы (*):

D_а = 1000 = 1×10³

Тогда приближенное число будет равно а_р = 27000 и запись величины а верными знаками а = 27000 ± 1000 = (2,7 ± 0,1) ×10⁴.

И в этом пункте в), и в предыдущих использованы правила округления.

Пример 1.4.

Определить абсолютные погрешности приближенных чисел с предположением о том, что:

а) а_р=2,453 записано верными знаками в широком смысле;

б) а_р=27080 записано верными знаками в узком смысле.

Решение

а) предположение о записи числа с верными знаками в широком смысле означает, что абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего последней значащей цифре, тогда, зная что, цифра «3» находится в третьем знаке после запятой, абсолютной погрешности будет равна:

D_а = 0,001 = 1×10^-3

И верная запись числа а = 2,453 ± 0,001

б) иная запись числа – с верными знаками в узком смысле, тогда абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего последней значащей цифре, считая слева направо. Так как последняя ненулевая цифра находится в разряде десятка, то за абсолютную погрешность числа можно принять D_а = 0,5×10 = 5.

Значит, запись величины а будет иметь вид: а = 27080 ± 5.

Правила округления чисел

Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все цифры, стоящие справа от n-й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

1) если первая отброшенная цифра меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняют без изменения;

2) если первая отброшенная цифра больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;

3) если первая отброшенная цифра равна 5 и среди остальных отброшенных цифр есть ненулевые, то к последней оставшейся цифре прибавляют единицу;

4) если первая из отброшенных цифр равна 5 и все отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра оставляется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если нечетная (правило четной цифры).

Это правило гарантирует, что сохраненные значащие цифры числа являются верными в узком смысле, т. е. погрешность округления не превосходит половины разряда, соответствующего последней оставленной значащей цифре. Правило четной цифры должно обеспечить компенсацию знаков ошибок.

Пример 1.5.

Округлить числа а_р до указанных разрядов:

а) а_р=2453,2 до разряда сотен;

б) а_р=2,7080 до разряда сотых;

в) а_р = 34,150 до разряда десятых.

Решение

а) для решения используем правило 3, так как первая отброшенная цифра «3» больше нуля, значит, а_р = 2460.

б) для решения воспользуется правилом 2, тогда а_р = 2,71.

в) в этом случае необходимо воспользоваться правилом 4, так как первая отброшенная цифра равна 5, а за ней следует число «0», при этом до цифры «5», стоит «1» - нечетное число, следовательно:

а_р = 34,2.

Иногда требуется оценить погрешность числа, не проводя дополнительных испытаний, тогда можно использовать следующую теорему.

Теорема.Если положительное приближенное число имеет n верных значащих цифр, то его относительная погрешность δ не превосходит величины 10^1-n, деленной на первую значащую цифру a₁:

δ £ 10^1-n / a₁

Эта формула позволяет вычислить предельную относительную погрешность

δ_a = 10^1-n / a₁

Пример 1.6.

Определить абсолютные и относительные погрешности следующих чисел:

а) а_р=24,2;

б) а_р=27000.

Решение

а) здесь a_н = 2, а количество ненулевых значащих разрядов равно 3, то за δ_a можно принять величину:

δ_a = 10^1-3 / 2 = 0,005

тогда D_а = 0,005 × 24,2 = 0,121 » 0,1.

б)в данном случае a_н = 2, а количество ненулевых значащих разрядов равно 2, то за δ_a можно принять величину:

δ_a = 10^1-2 / 2 = 0,05

 тогда D_а = 0,05 × 27000 = 1350 » 1000.