Источники и классификация погрешностей

Министерство образования и науки Российской Федерации

Стерлитамакский филиал

Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего образования

«Башкирский государственный университет»

Гиззатова Э.Р., Борисевич С.С., Гнатенко Ю.А.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА.

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ:

Учебное пособие

для студентов, обучающихся по направлениям

04.03.01 Химия и 03.03.02 Физика.

Стерлитамак 2016

УДК 519.6

ББК 22.192я73

Г 46

Гиззатова Э.Р., Борисевич С.С., Гнатенко Ю.А. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА. МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ДАННЫХ: учебное пособие.

Учебное пособие содержит тематический материал по основным разделам вычислительной математики, методам математической обработки информации, численным методам. Представление ведется по темам, состоящим из теоретической и практической частей. В первой из них раскрываются понятия, термины раздела, приводятся формулировки теорем. Вторая часть темы – это примеры и типовые задачи с решениями, полученными в прикладных программных обеспечениях и математических пакетах, а также задания для лабораторных работ. Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению «Химия» и «Физика», и может быть использовано в качестве дополнительного материала преподавателями..

Ответственный редактор – кандидат физико-математических наук, доцент А.И. Карамова (Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВО «БашГУ»)

Рецензенты:

кандидат технических наук Т.М. Левина (филиал ФГБОУ ВО УГНТУ в г. Салавате); кафедра математического моделирования (Стерлитамакский филиал ФГБОУ ВО БашГУ); кафедра «Общенаучных дисциплин» (филиал ФГБОУ ВО УГНТУ в г. Салавате).

© Э.Р. Гиззатова, С.С. Борисевич, Ю.А. Гнатенко, 2016

ТЕМА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ПОГРЕШНОСТИ

Процесс решения задач из физики, техники, экономики или химии с помощью методов математического моделирования состоит из нескольких этапов, показанных на рисунке:

1. На первом этапе проводится исследование объекта и формулируется содержательная (физическая, техническая, экономическая, химическая и др.) постановка задачи. Для того, чтобы задачу можно было описать количественно, нужно провести качественный и количественный анализ свойств объекта и выделить основные параметры, оказывающие на них наиболее существенное влияние.

2. Следующим этапом является математическая постановка задачи, в процессе которой осуществляется построение математической модели объекта. Под математической моделью понимают систему математических соотношений (уравнений, неравенств, краевых, начальных условий), которым должна удовлетворять система основных параметров задачи или объекта. Одно из основных требований, предъявляемых к математической модели – соответствие исследуемому объекту, т.е. адекватность. Другое немаловажное требование – чтобы модель была не слишком сложной, доступной для математической обработки. Умение находить оптимальное сочетание адекватности и сложности зависит от квалификации и даже интуиции исследователя.

3. На следующем этапе необходимо найти методы (алгоритмы) решения математической задачи. В наиболее простых случаях удается построить аналитическое решение задачи. Такие решения являются наиболее привлекательными, поскольку позволяют не только количественно, но и, что не менее важно, качественно проанализировать исследуемые параметры. Но в подавляющем большинстве случаев это не представляется возможным, и для решения математической задачи применяются численные методы. На следующем рисунке приведена классификация методов решения вычислительных задач:

4. Четвертым этапом является разработка программы решения задачи на компьютере, ее тестирование и отладка. Возможно, что рассматриваемая математическая задача исследована, и для ее решения разработаны стандартные программы, которые могут существовать отдельно или входить в пакеты прикладных программ.

5. На заключительном этапе выполняют вычислительные эксперименты на компьютере и проводят анализ результатов. Если результаты не удовлетворяют исследователя, требуется совершенствование алгоритма или метода решения задачи, ее математической модели, а в некоторых случаях – корректировка содержательной постановки.

Источники и классификация погрешностей

Основные источники погрешностей:

а) параметры, входящие в описание задачи, заданы неточно; соответствующую погрешность называют неустранимой;

б) математическая модель описывает изучаемый объект приближенно с учетом основных, наиболее существенных факторов (погрешность математической модели);

в) численный алгоритм, применяемый для решения математической задачи, зачастую дает лишь приближенное решение (погрешность метода);

г) в процессе вычислений на компьютере промежуточные и конечные результаты округляются (вычислительная погрешность или погрешность округления). Методы, причисляемые к точным, не учитывают наличие вычислительной погрешности.

Часто первые два вида погрешности объединяют в один и называют неустранимой погрешностью.

Пусть I – абсолютная погрешность результата, а I_H, I_M, I_O - абсолютные величины неустранимой погрешности, погрешности метода и округления соответственно, поэтому верно неравенство:

I £ I_H + I_M + I_O

Это неравенство дает оценку для погрешности результата. Из этого неравенства можно сделать вывод: полную погрешность результата нельзя сделать меньше, чем наибольшая из составляющих ее погрешностей.

Существует и другая классификация погрешностей, их делят на: систематическую, случайную и грубую погрешности.

Систематическими называют погрешности, вызывающиеся факторами, не меняющие своего влияния на проводимые измерения, как бы много их не проводились. Фактически, систематические погрешности постоянны для всех измерений. Например, измерение одной и той же линейкой будет иметь погрешность, равную половине цены ее делений, при этом количество измерений может и одно, и несколько.

Случайные погрешности зависят от каждого измерения и определяются факторами, которые могут быть незначительными в одном конкретном испытании и, в то же самое время, сильно влиять на результат другого испытания (испытаний).

Грубые погрешности – это те погрешности, которые несопоставимы с измеряемой величиной в данных условиях, можно даже сказать, неожидаемые. Измерение, дающее эту погрешность, называют промахом.

Если систематические погрешности постоянны для любого числа измерений, то случайные погрешности могут быть уменьшены за счет большего числа измерений, такая ситуация называется накоплением статистических данных. Грубые погрешности, ввиду своей несовместимости с измерениями, могут быть отброшены как малооправданные либо устранены тщательной проверкой самого измерения.

Возникает вопрос о том, сколько раз необходимо измерять одну и ту же величину, чтобы ее погрешность была бы минимальной. Этот вопрос связан с формулой абсолютной погрешности результата, приведенной выше. Также как и в предыдущем случае

I £ I_сист + I_случ + I_груб

или

I_сист (n) + I_случ (n)+ I_груб (n) -> min

Но, поскольку первое слагаемое является независимым числом от количества измерений n, то есть константой, то последнее можно записать иначе

I_сист + I_случ (n)+ I_груб (n) -> I_сист

При этом грубая погрешность может устранена за счет соблюдения так называемой «чистоты эксперимента». В конечном итоге, за абсолютную погрешность измерения будет принят максимум

I = max {I_сист , I_случ(n)}

Следовательно, измерения должны быть проведены столько раз, сколько необходимо чтобы I_случ стала меньше I_сист. Естественно полагать, что n должно быть выбрано разумным и связанным с важностью получения каждого конкретного измерения.