Тема 15. Волны. Уравнение волны

1.Уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х

или ,

где  — смещение точек среды с координатой х в момент времени t; A ― амплитуда;  — фаза;  ― начальная фаза;  — круговая частота; n=1/Т – частота; Т – период колебаний;  ― скорость распространения колебаний в среде (фазовая скорость);  — волновое число  ― длина волны).

Пример 15.1. На рисунке представлен профиль поперечной бегущей волны, которая распространяется со скоростью . Амплитуда скорости колебаний точек среды (в м/с) равна …

£ 0,05 м/с    R 6,28 м/с        

£ 12,56 м/с  £ 200 м/с

Решение:уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х: . В этом уравненииА — амплитуда волны, а амплитуда скорости колебаний точек среды, соответственно составит V_m = Aω. Из рисунка можно определить λ=10 м. Известно соотношение между длиной волны λ и циклической частотой: . Амплитуду волны определим по рисунку: А=0,05 м. Следовательно .

Пример 15.2. На рисунке представлен профиль поперечной упругой бегущей волны. Согласно рисунку значение волнового числа равно …

£ 2,512 м^-1                R 0,628 м^-1£ 1,256 м^-1              £ 0,314 м^-1

Решение: уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х: . Из рисунка можно определить λ=10м. Волновое число .с периодом и частотой

2.Взаимосвязь длины волны, периода и частоты: , .

3. Разность фаз колебаний двух точек среды : ,

Где Dх – расстояние между колеблющимися точками (разность хода).

4. Фазовая скорость волны:

а) продольных волн (распространяющихся в упругой среде и твердых телах): , гдеЕ — модуль Юнга; ρ ― плотность вещества;

б) поперечных волн:         

,где G — модуль сдвига;

в) в газах:     ,где γ — показатель адиабаты (γ = с_р / с_v); R ― универсальная газовая постоянная; T— термодинамическая температура; μ ― молярная масса вещества.

5. Плотность энергии упругой волны: .

6. Средняя по времени плотность энергии волны: .

Пример 15.3. В упругой среде плотностью распространяется плоская синусоидальная волна с частотой  и амплитудой . При переходе волны в другую среду, плотность которой в 2 раза меньше, амплитуду увеличивают в 4 раза, тогда объемная плотность энергии, переносимой волной, …

£ увеличится в4 раза,                             R увеличится в 8 раз,

£ уменьшится в 2 раза,                          £ не изменится.

Решение: среднее значение объемной плотности энергии равно: . За счет уменьшения плотности среды объемная плотность энергии уменьшится в 2 раза, а за счет увеличения амплитуды – увеличится в 16 раз, следовательно, объемная плотность энергии увеличится в 8 раз.

7. Плотность потока энергии волны (вектор Умова)

а) мгновенное значение ,

где  — плотность энергии упругой волны,  ― фазовая скорость (скорость распространения волны).

б) среднее значение ,

где  —средняя по времени плотность энергии волны,  ― фазовая скорость.

Пример 15.4. В физиотерапии используется ультразвук частотой 800 кГц и интенсивностью 1 Вт/м². При этом скорость ультразвуковых волн в теле человека равна 1500 м/с. При воздействии таким ультразвуком на мягкие ткани человека плотностью 1060 кг/м³ амплитуда колебаний молекул будет равна …

R 2,2 Å £ 0,22 Å       £ 44 Å          £ 4,4 Å

Решение: Интенсивностью волны называется скалярная величина, равная модулю среднего значения вектора плотности потока энергии (вектора Умова) , где  —средняя по времени плотность энергии волны, A ― амплитуда;  ― фазовая скорость,  — круговая частота; ρ ― плотность вещества (среды). Тогда из соотношения  можно определить амплитуду = 2,2 Å.

Пример 15.5. Плоская электромагнитная волна распространяется в диэлектрике с проницаемостью . Если амплитудное значение электрического вектора волны , то интенсивность волны равна …( .)

£     R          

£     £

Решение: интенсивностью волны называется скалярная величина, равная модулю среднего значения вектора плотности потока энергии (вектора Умова – Пойнтинга) , где —средняя по времени плотность энергии волны,  ― фазовая скорость. Среднее значение объемной плотности энергии электромагнитной волны определяется выражением , а скорость волны в среде , где  ― абсолютный показатель преломления среды, причем . Для неферромагнитных сред . Таким образом, выражение для интенсивности электромагнитной волны можно представить в виде

8. Уравнение стоячей волны : .