Вынужденные колебания, резонанс

Вынужденные механическиеколебания ― это колебания возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы. Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные механические колебания имеет вид:

,

где ω₀ — собственная частота колебаний; δ ― коэффициент затухания;  — внешняя периодическая сила, действующая на материальную точку и вызывающая вынужденные колебания,  ― амплитудное значение этой силы; .

Амплитуда вынужденных механических колебаний:

.

Начальная фаза вынужденных механических колебаний:

.

Пример 14.13. Колебания материальной точки, происходящее под действием внешней периодически изменяющейся силы, описывается дифференциальным уравнением:

где δ – коэффициент затухания; ω₀ – циклическая частота собственных колебаний; ω – циклическая частота вынужденных колебаний; f₀ – амплитуда вынуждающей силы, отнесенная к массе тела. Зависимость смещения x материальной точки от времени изображена на рисунке … £ 1       R 2       £ 3      £ 4

Решение: уравнение вынужденных колебаний  — это линейное неоднородное дифференциальное уравнение, решение которого равно сумме общего решения однородного уравнения  и частного решения неоднородного уравнения . Общее решение играет существенную роль только в начальной стадии процесса установления гармонических колебаний с частотой ω вынуждающей силы. Из графика видно, что амплитуда вынужденных колебаний постепенно нарастает, и затем устанавливается гармоническое колебание с частотой вынуждающей силы.

Механический резонанс ―это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте равной или близкой собственной частоте колебательной системы.

Резонансная частота и резонансная амплитуда

   и   .

Пример 14.14. Пруженный маятник с жесткостью пружины  совершает вынужденные колебания со слабым коэффициентом затухания (δ«ω_0), которые подчиняются дифференциальному уравнению . Амплитуда колебаний будет максимальна. Если массу груза увеличить в _______ раз(-а).

£ 3       R 9       £ 0,3    £ 0,9

Решение: явление резонанса наблюдается, когда частота вынуждающей силы равна или близка собственной частоте колебательной системы. По условию задания частота вынуждающей силы ω = 10 с^-1. Известно, что для пружинного маятника . Из уравнения видно, что . Тогда реальная масса пружинного маятника . Условия резонанса: будут выполнены, если масса пружинного маятника составит . Следовательно, амплитуда колебаний будет максимальна (явление резонанса), если масса груза увеличить в раз.

Вынужденные электромагнитные колебания ― колебания, возникающие под действием внешней, периодически изменяющейся по гармоническому закону, э.д.с.:            

Дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные электромагнитные колебания имеет вид:

,

где ω₀ — собственная частота колебаний; δ ― коэффициент затухания;  — внешняя периодическая сила, действующая на материальную точку и вызывающая вынужденные колебания,  ― амплитудное значение внешней, периодически изменяющейся по гармоническому закону, э.д.с.; Q — заряд конденсатора; L ― индуктивность контура.

Амплитуда вынужденных электромагнитных колебаний

.

Начальная фаза вынужденных электромагнитных колебаний

.

Пример 14.15. Вынужденные колебания заряда конденсатора в колебательном контуре описывается уравнением …

£

R

£

Решение: дифференциальное уравнение, описывающее вынужденные электромагнитные колебания имеет вид:

,

где  — внешняя периодическая сила, действующая на материальную точку и вызывающая вынужденные колебания,  ― амплитудное значение внешней, периодически изменяющейся по гармоническому закону, э.д.с.; Q — заряд конденсатора; L ― индуктивность контура; С — емкость конденсатора

Уравнение  — описывает затухающие колебания контура, а уравнение  — является дифференциальным уравнением свободных колебаний контура.

Электрический резонанс ―это явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к частоте равной или близкой собственной частоте колебательной системы.Резонансная частота и резонансная амплитуда (при малом затухании 䲫 )

   и   .

Пример 14.16.  ЭДС в контуре меняется по закону:  Зависимость силы тока от циклической частоты приведена на рисунке. Найдите значения электрического сопротивления колебательного контура во время электрического резонанса.

R 50 Ом                 £ 15 Ом 

£ 0,2 Ом                £ 2 Ом

Решение: резонансная амплитуда силы тока в колебательном контуре определяется по формуле: . Согласно условию задания . Используя график, определим .Тогда