Тема 4. Работа и энергия. Законы сохранения в механике

Работа, мощность

Элементарная работа силы равна , работа на всем перемещении равна интегралу .

Работа постоянной силы - скалярное произведение силы и перемещения:

(Скалярное произведение векторов – скалярная величина равная произведению длин векторов на синус угла между ними или сумме произведений соответствующих координат).

Работа переменной силы интеграл от силы по перемещения:

геометрически,равная площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения.

Мощность – работа, совершаемая за одну секунду  

.

Единица измерения работы – Джоуль - [A]= Дж; единица измерения мощности – ватт - [N]=Вт.

Энергия

В любой физической системе при совершении работы происходит изменение энергии. Энергия – физическая величина, характеризующая состояние системы.

Кинетическая энергия – энергия движения:

1)  - кинетическая энергия поступательно движущегося тела;

2)  - кинетическая энергия вращающегося тела;

3)  – КЭ тела движущегося поступательно и вращающегося (например, колесо автомобиля)

Теорема о кинетической энергии – приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на том же перемещении

.

Отметим, что мощность всех сил, действующих на тело равна скорости изменения кинетической энергии тела

.

Потенциальная энергия – энергия взаимодействия, расчетные формулы для разных видов взаимодействия будут разными, например

а) потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли: 

б) ПЭ гравитационного взаимодействия двух тел - ;

в) ПЭ упруго деформированной пружины - .

Теорема о ПЭ – изменение потенциальной энергии взятое с противоположным знаком равно работе сил, действующих на тело:

.

Если тело движется в потенциальном поле, на него со стороны поля действует сила равная градиенту потенциала поля и направленная противоположно направлению увеличения потенциальной энергии:

.

Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе энергия не исчезает, она превращается из одного вида в другой, полная механическая энергия не изменяется: Е = П+К =const

Пример 4.1. На рисунке изображены зависимости ускорений трех прямолинейно движущихся материальных точек одинаковой массы от координаты х.

Для работ A₁, A₂, A₃ сил, действующих на точки, справедливо следующее соотношение:

RА₁> А₂> А₃        £А₁< А₂> А₃

£А₁< А₂< А₃        £А₁> А₂< А₃

Решение: по второму закону Ньютона F=ma, т.е. график зависимости ускорения от времени имеет вид графика зависимости силы от времени. Мы отмечали, что работа геометрически равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения, т.е. фигура между осью х и линией силы. Самая большая площадь под линией 1, затем 2 и 3, следовательно s₁>s₂>s₃, А₁> А₂> А₃.

Пример 4.2. На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу. Чему равна работа, совершенная этой силой при перемещении частицы из начала координат (0,0) в точку с координатами (5,2)?

Решение: по определению . Сила постоянна и равна (см. рис.),

.

Пример 4.3. Частица совершила перемещение из точки 1 с радиус-вектором в точку 2 радиус-вектором . При этом на нее действовала сила . Чему равна работа силы7

Решение: воспользуемся формулой из предыдущего примера

.

Пример 4.4. Частица движется в двумерном поле, причем ее потенциальная энергия задается функцией . Чему равна работа сил поля (в Дж) по перемещению частицы из точки С(1,1,1) в точку В(2,2,2)?

Решение:

)

величина силы равна длине вектора:

.

Пример 4.5. В потенциальном поле сила Fпропорциональна потенциальной энергии П. Если график зависимости потенциальной энергии от координаты имеет вид (см. рис.), то зависимость проекции силы F_x на ось х будет …

Решение: потенциальная энергия линейно зависит от координаты . Проекция силы на ось х равна производной энергии по координате, взятой с противоположным знаком:

    Ответ: график (1).

Пример 4.6.Тело массы m=100 г бросили с поверхности земли с начальной скоростью V₀= 10 м/с под углом α=30° к горизонту. Если пренебречь сопротивлением воздуха, средняя мощность, развиваемая силой тяжести за время падения тела на землю, равна …

Решение: мощность – это изменение энергии за единицу времени . Потенциальная энергия в верхней точке траектории равна кинетической энергии в начальный момент .

Время падения равно времени подъема. В верхней точке траектории v_yобращается в ноль, используем формулу скорости:

;     

Ответ: 

Пример 4.7. Диск в одном случае скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h, а в другом случае соскальзывает с нее. Если трением можно пренебречь, то отношение скоростей диска v₁/v₂у основания наклонной плоскости будет равно:

£      £      R      £

Решение: 1) диск скатывается без проскальзывания т.е. движется поступательно и вращается – кинетическая энергия , вспомним         ,    момент инерции диска . Кинетическая энергия внизу равна потенциальной энергии в верхней точке наклонной плоскости:

,        .

2)диск соскальзывает, т.е. движется поступательно -

,  .

Отношение скоростей, равно: .

Пример 4.8.Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Тогда верным утверждением относительно времени скатывания к основанию горки является следующее:

£ быстрее скатится полый цилиндр         

R быстрее скатится сплошнойцилиндр

£ оба тела скатятся одновременно

Решение: время скатывания тем меньше, чем больше скорость тела к конце горки. При скатывании происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую

,     ,

Из последнего выражения следует, что конечная скорость будет больше для тела с меньшим моментом инерции. Момент инерции полого цилиндра(  большемомента инерции сплошного цилиндра ( ), значит, сплошной цилиндр скатится быстрее.

Пример 4.9.Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости тел одинаковы, то какой цилиндр поднимется выше и чему равно отношение высот h₁/h₂ …

£ 7/10           £14/15         R¾       £1

Решение: при движении вверх происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, см. формулы предыдущего задания:   , выше поднимется тело с большей кинетической энергией, т.е. большим моментом инерции - полый цилиндр. Отношение высот равно:

.

Импульс

Кроме энергии состояние движущегося тела характеризует импульс или количество движения тела    :             .

В соответствии со вторым законом Ньютона сила, действующая на тело равна скорости изменения импульса тела под действием этой силы , отсюда следует         = -приращение импульса, иногда произведение ( ) называют импульсом силы.

Закон сохранения импульса – в инерциальной системе отсчета полный импульс замкнутой физической системы остается в процессе движения постоянным    .

Пример 4.10. Импульс материальной точки изменяется по закону

. Модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t = 4 c, равен …

Решение: согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе: . Тогда зависимость силы от времени имеет вид .

Модуль силы .

Пример 4.11. Шар массой m₁=200г, движущийся со скоростью р=неупругий, скорость шаров (в м/с) после удара равна:        

R 0,5    £ 0,6    £ 2     £ 1,67

Решение: закон сохранения импульса для этого случая .

.

Пример 4.12. Шар имел до удара импульс р₀, после удара р₁ (рис. а). Чему равно изменение импульса шара? (одна клетка 1кгм/с)

Решение: изменение импульса шара . Найдем геометрическую разность векторов (рис.b). Изменение импульса Dр – гипотенуза прямоугольного треугольника, рассчитаем его длину по теореме Пифагора:

.

Пример 4.13. Первый шар имел до удара импульс р_0, о него ударился шар с импульсом р и остановился (рис. а). Чему равен импульс первого шара после удара? (одна клетка 1 кгм/с)

Решение: по закону сохранения импульса построим сумму векторов р и р₀(рис. b), рассчитаем его длину по теореме Пифагора: .