Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Тема 4. Работа и энергия. Законы сохранения в механике
Работа, мощность Элементарная работа силы равна , работа на всем перемещении равна интегралу . Работа постоянной силы - скалярное произведение силы и перемещения:
(Скалярное произведение векторов – скалярная величина равная произведению длин векторов на синус угла между ними или сумме произведений соответствующих координат). Работа переменной силы интеграл от силы по перемещения: геометрически,равная площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения. Мощность – работа, совершаемая за одну секунду . Единица измерения работы – Джоуль - [A]= Дж; единица измерения мощности – ватт - [N]=Вт.
Энергия В любой физической системе при совершении работы происходит изменение энергии. Энергия – физическая величина, характеризующая состояние системы. Кинетическая энергия – энергия движения: 1) - кинетическая энергия поступательно движущегося тела; 2) - кинетическая энергия вращающегося тела; 3) – КЭ тела движущегося поступательно и вращающегося (например, колесо автомобиля) Теорема о кинетической энергии – приращение кинетической энергии частицы на некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на том же перемещении . Отметим, что мощность всех сил, действующих на тело равна скорости изменения кинетической энергии тела . Потенциальная энергия – энергия взаимодействия, расчетные формулы для разных видов взаимодействия будут разными, например а) потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли: б) ПЭ гравитационного взаимодействия двух тел - ; в) ПЭ упруго деформированной пружины - . Теорема о ПЭ – изменение потенциальной энергии взятое с противоположным знаком равно работе сил, действующих на тело: . Если тело движется в потенциальном поле, на него со стороны поля действует сила равная градиенту потенциала поля и направленная противоположно направлению увеличения потенциальной энергии: . Закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе энергия не исчезает, она превращается из одного вида в другой, полная механическая энергия не изменяется: Е = П+К =const Пример 4.1. На рисунке изображены зависимости ускорений трех прямолинейно движущихся материальных точек одинаковой массы от координаты х. Для работ A1, A2, A3 сил, действующих на точки, справедливо следующее соотношение: RА1> А2> А3 £А1< А2> А3 £А1< А2< А3 £А1> А2< А3 Решение: по второму закону Ньютона F=ma, т.е. график зависимости ускорения от времени имеет вид графика зависимости силы от времени. Мы отмечали, что работа геометрически равна площади фигуры под графиком зависимости силы от перемещения, т.е. фигура между осью х и линией силы. Самая большая площадь под линией 1, затем 2 и 3, следовательно s1>s2>s3, А1> А2> А3. Пример 4.2. На рисунке показан вектор силы, действующей на частицу. Чему равна работа, совершенная этой силой при перемещении частицы из начала координат (0,0) в точку с координатами (5,2)? Решение: по определению . Сила постоянна и равна (см. рис.), . Пример 4.3. Частица совершила перемещение из точки 1 с радиус-вектором в точку 2 радиус-вектором . При этом на нее действовала сила . Чему равна работа силы7 Решение: воспользуемся формулой из предыдущего примера . Пример 4.4. Частица движется в двумерном поле, причем ее потенциальная энергия задается функцией . Чему равна работа сил поля (в Дж) по перемещению частицы из точки С(1,1,1) в точку В(2,2,2)? Решение: ) величина силы равна длине вектора: . Пример 4.5. В потенциальном поле сила Fпропорциональна потенциальной энергии П. Если график зависимости потенциальной энергии от координаты имеет вид (см. рис.), то зависимость проекции силы Fx на ось х будет … Решение: потенциальная энергия линейно зависит от координаты . Проекция силы на ось х равна производной энергии по координате, взятой с противоположным знаком: Ответ: график (1).
Пример 4.6.Тело массы m=100 г бросили с поверхности земли с начальной скоростью V0= 10 м/с под углом α=30° к горизонту. Если пренебречь сопротивлением воздуха, средняя мощность, развиваемая силой тяжести за время падения тела на землю, равна … Решение: мощность – это изменение энергии за единицу времени . Потенциальная энергия в верхней точке траектории равна кинетической энергии в начальный момент . Время падения равно времени подъема. В верхней точке траектории vyобращается в ноль, используем формулу скорости: ; Ответ: Пример 4.7. Диск в одном случае скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высотой h, а в другом случае соскальзывает с нее. Если трением можно пренебречь, то отношение скоростей диска v1/v2у основания наклонной плоскости будет равно: £ £ R £ Решение: 1) диск скатывается без проскальзывания т.е. движется поступательно и вращается – кинетическая энергия , вспомним , момент инерции диска . Кинетическая энергия внизу равна потенциальной энергии в верхней точке наклонной плоскости: , . 2)диск соскальзывает, т.е. движется поступательно - , . Отношение скоростей, равно: . Пример 4.8.Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Тогда верным утверждением относительно времени скатывания к основанию горки является следующее: £ быстрее скатится полый цилиндр R быстрее скатится сплошнойцилиндр £ оба тела скатятся одновременно Решение: время скатывания тем меньше, чем больше скорость тела к конце горки. При скатывании происходит превращение потенциальной энергии в кинетическую , , Из последнего выражения следует, что конечная скорость будет больше для тела с меньшим моментом инерции. Момент инерции полого цилиндра( большемомента инерции сплошного цилиндра ( ), значит, сплошной цилиндр скатится быстрее. Пример 4.9.Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания на горку. Если начальные скорости тел одинаковы, то какой цилиндр поднимется выше и чему равно отношение высот h1/h2 … £ 7/10 £14/15 R¾ £1 Решение: при движении вверх происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, см. формулы предыдущего задания: , выше поднимется тело с большей кинетической энергией, т.е. большим моментом инерции - полый цилиндр. Отношение высот равно: . Импульс Кроме энергии состояние движущегося тела характеризует импульс или количество движения тела : . В соответствии со вторым законом Ньютона сила, действующая на тело равна скорости изменения импульса тела под действием этой силы , отсюда следует = -приращение импульса, иногда произведение ( ) называют импульсом силы. Закон сохранения импульса – в инерциальной системе отсчета полный импульс замкнутой физической системы остается в процессе движения постоянным .
Пример 4.10. Импульс материальной точки изменяется по закону . Модуль силы (в Н), действующей на точку в момент времени t = 4 c, равен … Решение: согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе: . Тогда зависимость силы от времени имеет вид . Модуль силы . Пример 4.11. Шар массой m1=200г, движущийся со скоростью р=неупругий, скорость шаров (в м/с) после удара равна: R 0,5 £ 0,6 £ 2 £ 1,67 Решение: закон сохранения импульса для этого случая . . Пример 4.12. Шар имел до удара импульс р0, после удара р1 (рис. а). Чему равно изменение импульса шара? (одна клетка 1кгм/с) Решение: изменение импульса шара . Найдем геометрическую разность векторов (рис.b). Изменение импульса Dр – гипотенуза прямоугольного треугольника, рассчитаем его длину по теореме Пифагора: . Пример 4.13. Первый шар имел до удара импульс р0, о него ударился шар с импульсом р и остановился (рис. а). Чему равен импульс первого шара после удара? (одна клетка 1 кгм/с) Решение: по закону сохранения импульса построим сумму векторов р и р0(рис. b), рассчитаем его длину по теореме Пифагора: .
|
||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 449. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |