Лекция 24. Криволинейные интегралы

План лекции

1. Задачи, приводящие к криволинейному интегралу первого рода

2. Криволинейный интеграл первого рода и его вычисление

3. Задачи, приводящие к криволинейному интегралу второго рода

4. Криволинейный интеграл второго рода и его вычисление

5. Свойства криволинейного интеграла

Введение

Часто в практических задачах может возникать необходимость определить длину траектории движения тела или определить среднее значение массы или температуры длинного, тонкого, а зачастую и криволинейного объекта; или, например, определить количество вещества в кривой трубке и т. д. Очевидно, что подобные задачи должны также решаться интегральными методами. В лекции рассматриваются подходы к их решению. 

Для лучшего понимания криволинейных интегралов рекомендуется повторить определенный интеграл и кратные интегралы. Понятие криволинейного интеграла необходимо при изучении поверхностного интеграла,  элементов теории поля, а также при решении прикладных задач, связанных с определением масс, объемов, средних значений тонких объектов, например, вдоль оптического луча, и др.

1. Задачи, приводящие к криволинейному интегралу первого рода

Пусть вдоль плоской кривой L (рис. 1) неравномерно распределена масса с линейной плотностью . Необходимо определить массу кривой. Если , то , где  – длина дуги . Разобьем кривую на n частей длиной , где . Возьмем i-тую часть ( ), в которой произвольно выберем точку  и вычислим в ней значение плотности . Предположим, что в пределах выбранной части плотность постоянна и равна , тогда масса i-той части . Аналогично определим массы всех частей. Тогда масса всей кривой приближенно определяется интегральной суммой . Обозначим , тогда точное значение массы

.              (1)

2. Криволинейный интеграл первого рода и его вычисление

Пусть функция  определена на плоской кривой L.. Разобьем область определения L на n частей, длины которых обозначим . В i-той части выберем произвольную точку , вычислим в ней значение функции и произведения . Составим интегральную сумму всех произведений . Найдем предел суммы при . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точки в каждой части, то он называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги, и обозначается

 ,                          (2)

где L – область интегрирования,  – подынтегральная функция,  – дифференциал длины дуги.

Определение 1.

Кривая называется простой, если она не содержит самопересечений.

Определение 2.

Кривая называется гладкой, если она не содержит особых точек, где  не существует ее производной.

Определение 3.

Кривая называется спрямляемой, если она имеет конечную длину.

Теорема 1 (о существовании криволинейного интеграла).

Если функция  непрерывна на простой, гладкой, испрямляемой кривой, то существует криволинейный интеграл функции по этой кривой.

2.2. Вычисление криволинейного интеграла

Вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла. Если кривая L задана параметрически , где ,  и  – непрерывно дифференцируемы и , то

Если кривая L задана явно в декартовой системе координат , где  и – непрерывно дифференцируема, то

 .                     (4)

Внимание!

Сравните (3) и (4) с выражениями для длины дуги (л. 17).

3. Задачи, приводящие к криволинейному интегралу второго рода

Вдоль плоской кривой под действием силы  перемещается определенная масса (рис. 2). Найти работу силы по перемещению массы от точки A до точки B. Если сила постоянна  на прямолинейном участке , то работа определяется как . Разобьем кривую на n частей длиной , где . На k-той дуге ( ) произвольно выберем точку  и вычислим в ней значение силы . Пусть сила в пределах этой дуги не менялась, а перемещение осуществлялось по вектору . Тогда приближенно работа на этой дуге равна ,  или . Составим интегральную сумму . Обозначим , и

 .        (5)

4. Криволинейный интеграл второго рода и его вычисление

4.1. Определение криволинейного интеграла

 , (6)

где  – криволинейный интеграл второго рода общего вида.

Замечание!

Теорема существования та же, что и для интеграла первого рода.

4.2. Вычисление криволинейного интеграла

Вычисление криволинейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла. Если кривая L задана параметрически , где ,  и  непрерывно дифференцируемы. Очевидно, что сумма  получена разбиением кривой L на n частей точками , которым соответствует значение параметра . Тогда , откуда по теореме Лагранжа , где  и . Точку  выберем так, чтобы , тогда , тогда

. (7)

Аналогично определим правило вычисления второй составляющей

.                           (8)

4.3. Правило вычисления

Чтобы вычислить криволинейный интеграл второго рода, надо привести его к определенному интегралу. Для этого выразить переменные  и определить дифференциалы  через параметр t, исходя из уравнения кривой L, а за пределы интегрирования принять значения этой переменной в начале и в конце дуги.

Частный случай!

Очевидно, что если кривая L задана явно, , причем a – абсцисса точки A и b – абсцисса точки B, то вычисление сводится к интегралу

. (9)

5. Свойства криволинейного интеграла

Поскольку принципиальных различий в определении интегралов нет, то все свойства определенного интеграла справедливы и для криволинейных интегралов, однако криволинейный интеграл второго рода имеет свои особые свойства.

1. При изменении направления обхода кривой знак криволинейного интеграла второго рода меняется на противоположный

 .

Интеграл по замкнутому контуру обозначается . Направление обхода контура считается положительным, если фигура, им ограниченная, остается слева , и отрицательным, если  остается справа ,  и обозначается и .

2. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру не зависит от выбора начальной точки на контуре.

ПРИМЕР 1.

Найти  по  от точки  до . Запишем .

Заключение

Предложенный материал лекции повышенной сложности. Поэтому для лучшего усвоения рекомендуется прочесть его еще раз и обратить внимание на важные замечания. Напомним, что все основные результаты, представленные в лекции, также строятся на одном принципе разбиение и предельный переход, что облегчает ее понимание. Рассмотренные выражения необходимы при решении таких прикладных задач, где необходимо определять интеграл вдоль некоторой кривой. Приложения криволинейного интеграла будут рассматриваться в следующей лекции. Отметим, что:

- криволинейный интеграл эквивалентен замене переменной в определенном интеграле согласно уравнению кривой, при этом пространство как бы «искривлено»;

- криволинейный интеграл первого рода – это интеграл функции по длине дуги;

- криволинейный интеграл второго рода – это интеграл векторной функции по кривой;

- вычисление криволинейных интегралов сводится к нахождению определенного интеграла;

- в криволинейном интеграле общие пределы интегрирования;

- все выводы для плоской кривой справедливы и для пространственных кривых с обобщением путем добавления третьей переменной.     

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.– 512 с.

Введение

В предыдущей лекции рассматривался один из разделов интегрального исчисления «Криволинейный интеграл» и обозначен круг задач, при решении которых необходимо использовать такое интегрирование. В лекции раскрываются прикладные возможности использования таких интегралов. Для раскрытия всех возможностей даются теоремы, позволяющие решать специализированные задачи.

1. Формула Грина

Теорема 1 (формула Грина).

Если функции  и  непрерывно дифференцируемы в любой точке области определения D, ограниченной, замкнутой, гладкой кривой L (рис. 1), то

 . (1)

Доказательство.

.

Аналогично можно показать, что . Тогда вычитая из последнего выражения первое, получим выражение (1).

Для сложной петли (рис. 2) справедливо

ПРИМЕР 1.

Найти , если . , . Согласно (1) . В полярных координатах

2. Условия независимости от пути интегрирования

Теорема 2 (лемма).

Для того чтобы  не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство (необходимость).

Дано , т. е.  не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что . Согласно свойствам интеграла .

Доказательство (достаточность).

Дано . Доказать, что . По условию , тогда  или , откуда .

Для того чтобы криволинейный интеграл  не зависел от пути интегрирования в односвязной области, в которой функции  и  непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

.

Доказательство от противного (необходимость).

Дано , т. е.  не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что . Предположим, что  в некоторой точке . Обозначим окрестность этой точки , ограниченной кривой  (рис. 3). Согласно формуле Грина , следовательно,  и , что не верно.

Доказательство (достаточность).

Дано . Требуется доказать, что  не зависит от пути интегрирования. По теореме Грина и условию . Тогда, на основании теоремы 2 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Следствие!

Если , то  есть дифференциал некоторой функции, и обобщенная формула Ньютона–Лейбница будет иметь вид

 .   (2)

ПРИМЕР 2.

 3. Приложения криволинейных интегралов

3.1. Работа силы

Пусть  – некоторое поле сил, тогда работа этих сил вдоль некоторой кривой L будет определяться как

 .                    (3)

Касательный вектор , поэтому (3) примет вид .

Замечания!

1. .

2. Криволинейный интеграл второго рода связан с  интегралом первого рода: = , где  и  – углы, образованные касательной в точке  с осями  и  соответственно.

3.2. Вычисление площади плоской фигуры

По формуле Грина , т. е. криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен площади фигуры ограниченной этим контуром, если .

1. , , тогда .

2. , , тогда .

3.3. Вычисление массы кривой

Если задана кривая , вдоль которой распределена масса плотностью , тогда ее масса будет определяться выражением

 .

3.4. Площадь цилиндрической поверхности

Если направляющей цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельна оси  (рис. 4), то площадь поверхности, задаваемой сверху функцией , определяется по формуле .

ПРИМЕР 3.

Определить массу кривой  от точки   до точки , если плотность . Запишем

.

ПРИМЕР 4.

Вычислить площадь фигуры  – эллипса. Запишем в полярных координатах , где . Тогда площадь .

Несмотря на то, что сегодняшняя лекция посвящена практическому приложению криволинейного интеграла, отметим, что подробное рассмотрение классических прикладных задач позволит в будущем правильно ставить подобные задачи и правильно их решать. Для лучшего усвоения материала предлагается сравнить подходы, используемые в лекции «Приложения определенного интеграла», с подходами, использованными в данной лекции.

Основное внимание необходимо обратить на формулу Грина которая используется в векторном анализе. Материал лекции необходим, прежде всего, для решения прикладных задач. Кроме того, понимание общности в решении интегральных задач необходимо при изучении поверхностного интеграла.

Отметим, что:

- если , то  полный дифференциал некоторой функции;

- двойной интеграл связан с криволинейным интегралом;

- криволинейный интеграл второго рода связан с криволинейным интегралом первого рода;

- криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен площади фигуры, ограниченной этим контуром;

- если , то  не зависит от пути интегрирования.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.– 512 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2 – М.: Лань, 2002. - 464 с.

Введение

В практических задачах может возникать необходимость определить плотность поверхностного заряда криволинейной поверхности или плотность потока тепла через нее. Кроме того, есть задачи, посвященные определению среднего значения массы или температуры тонкой криволинейной поверхности, и т. д. Очевидно, что подобные задачи должны также решаться интегральными методами. В лекции рассматриваются подходы к их решению.

Особое внимание следует обратить на общность всех изученных ранее типов интегралов, показана их взаимосвязь, что позволяет легче понять геометрический и физический смысл этих интегралов.

1. Задачи, приводящие к поверхностному интегралу первого рода

Пусть по криволинейной поверхности  (рис. 1) неравномерно распределен электрический заряд с поверхностной плотность . Необходимо найти величину электрического заряда q, распределенного по поверхности . Если , то , где  – площадь поверхности. Разобьем поверхность на n частей площадью каждой , где . Возьмем i-тую часть, в которой произвольно выберем точку , и вычислим в ней значение поверхностной плотности заряда . Предположим, что в пределах выбранной части плотность постоянна и равна , тогда количество заряда i-той части . Аналогично определим заряды всех частей. Заряд всей поверхности . Обозначим , а точное значение

.    (1)

2. Поверхностный интеграл первого рода и его вычисление

2.1. Определение поверхностного интеграла

 ,        (2)

где  – область интегрирования,  – подынтегральная функция,  – дифференциал поверхности.

Определение 1.

Теорема 1 (о существовании поверхностного интеграла).

Если функция  непрерывно дифференцируема на гладкой поверхности, ограниченной замкнутым контуром, то существует криволинейный интеграл функции по этой кривой.

Выводы!

1. Свойства поверхностного интеграла первого рода те же, что и двойного.

2. Двойной интеграл есть частный случай поверхностного интеграла, поэтому при вычислении он сводится к своему частному случаю.

2.2. Вычисление поверхностного интеграла

Пусть задана поверхность  с проекцией  на плоскость , пересекаемая прямой, параллельной оси  в одной точке. Разобьем поверхность на n частей, площадь каждой , где . Возьмем i-тую часть, в которой произвольно выберем точку . Такой элементарный участок представлен на рис. 2. В выбранной точке проведем касательную плоскость с вектором нормали . Обозначим вектор  как , тогда .

Касательная площадь определяется как

.    (3)

Если использовать (3) в выражении (2), тогда вычисление криволинейного интеграла по поверхности  сводится к вычислению определенного интеграла

.        (4)

2.3. Приложения поверхностного интеграла

1. Величина заряда на поверхности .

2. Масса поверхности .

3. Статистические моменты .

4. Моменты инерции .

3. Задачи, приводящие к поверхностному интегралу второго рода

Задача: Необходимо найти поток несжимаемой ( ), стационарно текущей жидкости через поверхность  со скоростью .

Определение 1.

Потоком жидкости через поверхность называется количество жидкости m, протекающей через эту поверхность за единицу времени.

4. Поверхностный интеграл второго рода и его вычисление

4.1. Двусторонние поверхности и их ориентация

Определение 2.

Поверхность называется двусторонней, если, выходя из любой ее точки, можно прийти в ту же точку с противоположным направлением нормали только, пересекая границу поверхности. Если это условие не выполняется, то поверхность называется односторонней, например, петля Мебиуса.

Замечание!

Все изученные ранее поверхности двусторонние.

Выбор стороны поверхности называется ориентацией. За положительную сторону условимся принимать ту, нормаль к которой вместе с положительным направлением на замкнутом контуре образует правый винт (рис. 4).

4.2. Определение поверхностного интеграла

Пусть на поверхности  определена функция . Разобьем поверхностьна n частей, площади которых обозначим . В i-той части выберем произвольно точку , вычислим в ней значение функции . Умножим полученное значение на проекцию i-той части на плоскость , т. е.  с учетом ориентации поверхности (вектор нормали в общем случае имеет координаты ). Составим сумму . Найдем предел суммы при . Если этот предел  существует и не зависит ни от способа разбиения , ни от выбора точки в каждой части, то он называется поверхностным интегралом второго рода

Аналогичные интегралы можно получить для  других проекций

 ,      (7)

 ,      (8)

тогда поверхностный интеграл второго рода общего вида запишем как

 ,     (9)

Свойство!

Поверхностный интеграл второго рода изменяет свой знак при изменении ориентации поверхности.

4.3. Вычисление поверхностного интеграла

Если  задана явно , то выражения (6 – 8) запишем в виде

 .            (10)

Аналогичные интегралы можно получить для  других проекций

 ,              (11)

 ,              (12)

где знак «+» соответствует острому углу между нормалью и проекционной осью, а знак «–» тупому углу.

5. Связь поверхностного интеграла с криволинейными и кратными интегралами

 Если функции непрерывно дифференцируемы на гладкой, ограниченной замкнутым контуром  поверхности , то справедливо

 . (13)

Вывод! Формула Грина – это частный случай теоремы Стокса

Теорема 2 (Остроградского–Гаусса).

 Если функции непрерывно дифференцируемы в области , ограниченной замкнутой гладкой поверхностью , то справедливо

 .  (14)

Заключение

Материал лекции является промежуточным звеном между темами «Интегральное исчисление» и «Теория поля, векторный анализ». Он позволяет найти общность в построении задач и подходов, используемых в этих двух темах. Все типы интегралов связаны между собой и вычисление любого из них сводится к вычислению определенного интеграла. Поверхностные используются при вычислении расходов биоресурсов, давления на поверхность, процессов теплообмена и др.

Отметим, что:

- поверхностные интегралы – это интегралы по поверхности;

- поверхностный интеграл первого рода – это двойной интеграл от явной функции по проекции поверхности;

- поверхностный интеграл второго рода – это двойной интеграл от векторной функции по проекциям поверхности на соответствующие координатные плоскости;

- формула Грина частный случай теоремы Стокса;

- формулы Стокса и Остроградского–Гаусса связывают поверхностный интеграл 2-го рода с двойными и тройным интегралами. 

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.