Лекция 19. Дифференцирование функции многих переменных

План лекции

1. Частные приращения и частные производные функции многих переменных

2. Геометрический смысл частных производных функции многих переменных

3. Дифференцируемость функции многих переменных

4. Полный и частный дифференциалы функций многих переменных

5. Дифференцирование сложных функций

6. Инвариантность дифференциала первого порядка

7. Дифференцирование неявных функций

8. Производные высших порядков функции многих переменных

Введение

Уже известно, что теория пределов справедлива не только для функции одной переменной, но и для функций многих переменных, следовательно, теория дифференцирования и интегрирования так же должна быть применима для функций многих переменных. Однако вопрос приращения аргумента или аргументов, а также приращение функции оставался пока не изученным. Поскольку приращение можно давать как отдельным переменным, так и в их сочетании, то и производных будет несколько. Этому вопросу и посвящена лекция. Полученные знания будут необходимы для понимания двойных и тройных интегралов, а также теории комплексных функций.  

Кроме того, в данной лекции рассматриваются вопросы, аналогичные функции одной переменной, по вычислению дифференциалов функций многих переменных, заданных различными способами.

1. Частные приращения и частные

производные функции многих переменных

Рассмотрим этот вопрос относительно функции двух переменных  с областью определения . Дадим приращение одной из переменных . При этом новое значение функции .

Определение 1.

Приращение функции, полученное за счет изменения только одной переменной, называется частным

 .                    (1)

Определение 2.

Например, частная производная функции двух переменных по переменной  записывается как 

 .         (2)

Аналогичным образом записывается частная производная по любой переменой функции многих переменных.

1.1. Правило дифференцирования

Чтобы вычислить частную производную функции многих переменных, надо дифференцировать ее как функцию одной переменной и только этой переменной, а остальные переменные считать постоянными.

ПРИМЕР 1.

Найти частные производные функции .

1. .

2. .

3. .

2. Геометрический смысл частных производных функции многих переменных

Пусть задана функция двух переменных  с областью определения . В пространстве это уравнение представляет собой поверхность (рис. 1). Возьмем точку  из области определения. Проведем через эту точку секущие плоскости  и , параллельные координатным плоскостям  и . Эти плоскости пересекут поверхность, образуя кривые, описываемые функциями одной переменной  и  соответственно. Определим производные этих функций

и .

Таким образом, частная производная функции двух переменных есть угловой коэффициент касательной к линии, образованной пересечением графика этой функции с плоскостью, параллельной  или . Очевидно, что значение частных производных в точке  – это угловые коэффициенты касательных (  и ) к указанным линиям в точке .

Замечание!

 3. Дифференцируемость функции многих переменных

Рассмотрим данный вопрос относительно функции двух переменных  с областью определения . Дадим приращение обеим переменным  и . При этом новое значение функции .

Определение 3.

Полным приращением функции называется приращение, полученное за счет изменения каждого ее аргумента

 .              (3)

ПРИМЕР 2.

Найти полное и частные приращения функции .

1. .

2. .

3. .

Выводы!

1. .          

2.  содержит члены, зависящие от  и  линейно и нелинейно.

Определение 4.

Функция двух переменных называется дифференцируемой в точке, если ее полное приращение в этой точке имеет вид

где  – функции от переменных , не зависящие от ,  – бесконечно малая величина при  и , стремящаяся к нулю быстрее, чем величина (т. е. более высокого порядка малости ).

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция  дифференцируема в некоторой точке, то существуют частные производные, причем  и .

Доказательство.

По условию справедливо (4). Пусть переменная  фиксированная, тогда . Согласно (4) . Определим  существует частная производная . Аналогично .

Следствия!

1. Полное приращение дифференцируемой функции имеет вид

 .                 (5)

2. Теорема верна для любого числа переменных. Пусть  дифференцируема, тогда , где , .

Замечание!

Обратите внимание, что если в  – уравнении  плоскости (см ч. 1, л. 11) выразить , то получим . Пусть , тогда получим выражение, схожее с (4). То есть основная часть (4) есть приращение касательной плоскости к поверхности в точке. Напомним, что в уравнении плоскости коэффициенты  есть координаты вектора нормали к плоскости.

Для того чтобы функция многих переменных была дифференцируема в некоторой точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные частные производные в окрестности этой точки, а в самой точке были непрерывны.

 4. Полный и частный дифференциалы функций многих переменных

Определение 5.

Полным дифференциалом функции многих переменных называется главная линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения дифференцируемой функции

 ,          (6)

где  – неразделимый символ частной производной.

Определение 6.

Произведение частной производной функции на дифференциал соответствующей переменной называется частным дифференциалом

 ,  .                (7)

Сравнивая выражения (6) и (7), запишем

 .                        (8)

ПРИМЕР 3.

Определим дифференциал функции . Согласно (8) , .

Из (5) следует, что . При малых  и  справедливо , т. е.  или

 .                   (9)

Погрешность оценки составляет , где  в области { ; }.

ПРИМЕР 4.

Оценить  с точностью . Представим в выражение в виде функции , при этом  и . Тогда , . Определим ,  и , откуда вычислим   и . Тогда .

 5. Дифференцирование сложных функций

5.1. Обе переменные зависимые

Теорема 3.

Если функция  дифференцируема по  и по , а  и  дифференцируемы по переменной , то производная сложной функции  равна

 .                    (10)

Доказательство.

Так как  дифференцируема по  и , следовательно , где , . Тогда . Найдем ,  или , см. (1).

ПРИМЕР 5.

Дано , , . Определим дифференциал .

5.2. Одна переменная зависимая

Пусть , где , тогда по теореме 1

 ,                          (11)

где  – частная производная,  – полная производная.

ПРИМЕР 6.

5.3. Обе переменные как функции двух переменных

Пусть , где  и  промежуточные переменные, дифференцируемые по  и , а  и  – независимые переменные. Тогда по теореме 1

и  .                  (12)

6. Инвариантность дифференциала первого порядка

Пусть , тогда , пусть , где , тогда . Пусть , где  и  – независимые переменные, тогда . Определим , если  и . Согласно (12) .

 .           (13)

 7. Дифференцирование неявных функций

7.1. Функция двух переменных

Уравнение  задает неявно функцию  аргумента , если , то , удовлетворяющее этому уравнению.

Теорема 4.

Если  задает неявно , как функцию от  и  дифференцируема по  и по , причем , то существует производная

.                             (14)

Доказательство.

Пусть задана функция , где . Тогда  – сложная функция и справедливо (11). Подставим в выражение (11) исходную функцию и получим , откуда  или .

ПРИМЕР 7.

Дано . Запишем . Тогда ,  и .

7.2. Функция трех переменных

Уравнение  задает неявно функцию  от аргументов  и , если  существует единственное значение , удовлетворяющее этому уравнению. По теореме 2 получим

 ;   .              (15)

ПРИМЕР 8. Найти , если . Запишем . Определим согласно (15)  и . Тогда .

8. Производные высших порядков функции многих переменных

Частные производные от частных производных первого порядка называются частные производные второго порядка или вторыми частными производными.

, .(16)

Аналогично определяются и обозначаются частные производные n-го порядка. Частные производные высших порядков, взятые по различным переменным, называются смешанными производными.

Теорема 5.

Если функция  дважды дифференцируема в окрестности некоторой точки, а в самой точке вторые смешанные производные непрерывны, то они равны между собой.

.

ПРИМЕР 9.

Для  частные производные: ; ; ; ; ; .

Заключение

Введенные ранее теоремы, определения и понятия относительно функции одной переменной являются частным случаем общих понятий для функций многих переменных. 

Отметим, что:

- дифференциал первого порядка функции многих переменных инвариантен;

- смешанные производные не зависят от последовательности дифференцирования.

- частные производные имеют смысл угловых коэффициентов в сечениях функции;

- дифференциал функции одной переменной это приращение касательной прямой,

- дифференциал функции двух переменных это приращение касательной плоскости;

- выражения дифференциала справедливы для любого числа переменных.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.– 512 с.

3. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. – М.: ВШ, 1998.

План лекции