Лекция 23. Тройные интегралы

Цель лекции: изучить понятие тройного интеграла; научиться определять тип задач, приводящих к тройному интегралу; вычислять тройной интеграл.

1. Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла

2. Определение тройного интеграла

3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

4. Замена переменных в тройном интеграле

5. Физические приложения тройного интеграла

В предыдущих лекциях рассматривался двойной интеграл. Тип задач, приводящих к нахождению двукратных интегралов, уже известен. Из примеров было видно, что двойной интеграл не позволяет определять, например, массы неоднородного объемного тела, его момента инерции и др. Ясно, что подобные задачи необходимо решать при помощи трехкратного интеграла, которому посвящена эта лекция.

1. Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла

1.1. Задача о массе неоднородного тела

Дано неоднородное объемное тело (рис. 1) с неоднородной плотностью, заданной функцией трех переменных . Необходимо определить его массу. Если , то , где  – объем тела. Разобьем тело сетью поверхностей на n частей объемом , где . Возьмем i-тую часть, в которой произвольно выберем точку  и вычислим в ней значение плотности . Предположим, что в пределах выбранной части плотность постоянна и равна , тогда масса i-той части . Тогда масса всего тела приближенно определяется интегральной суммой . Обозначим , где за  – диаметр i-той части. Тогда точное значение массы

.                          (1)

1.2. Другие задачи

Аналогичная задача может ставиться о нахождении средней температуры тела. Если  – температура тела, тогда средняя температура ..

2. Определение тройного интеграла

 ,        (2)

где V – область интегрирования, – подынтегральная функция,  – элемент объема в декартовой системе координат .

Теорема 1 (о существовании тройного интеграла).

Если функция  непрерывна в замкнутой ограниченной пространственной области, то существует тройной интеграл функции по этой области.

2.1. Свойства тройного интеграла

Поскольку тройные интегралы построены по такому же принципу, что и двойные интегралы, то справедливы те же свойства.

Теорема 2 (о среднем).

 Если функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области V, то  точка : , где  – среднее значение функции в V. Из теоремы

 .                    (3)

3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

3.1. Переход к декартовым координатам

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

 .            (4)

 

Теорема 3.

Если функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области V, то

 . (5)

Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z. В результате получаем функцию двух переменных. Если область определения задана как  (рис. 2), то выражение (5), запишем

 .           (6)

Замечание!

В рассмотренном случае область V была простой, т. е. прямая  пересекает границу области не более чем в двух точках. Если область определения сложная, то ее необходимо разбить на простые части и воспользоваться свойством аддитивности.

Если область V – параллелепипед, то все пределы постоянны (рис. 3).

. (8)

3.2. Правило вычисления тройного интеграла

Чтобы вычислить тройной интеграл надо привести его к повторному.

2. Спроецировать область интегрирования на плоскость оставшихся переменных. Далее расстановка пределов интегрирования аналогична двукратному интегралу.

Вопрос 4. Замена переменных в тройном интеграле

4.1. Правило преобразования

Допустим, что для вычисления определенного интеграла необходима замена переменных по следующим формулам:

.

Напомним, что замена переменных равносильна замене области интегрирования. В данном случае это замена некоторой области в трехмерном пространстве  (см. л. 39). Согласно правилу перехода запишем соответствующий якобиан преобразования, и если , то справедливо

 . (9)

4.2. Переход к цилиндрическим координатам

Как известно, положение точки в трехмерном пространстве можно зафиксировать пересечением трех поверхностей. В цилиндрической системе запишем:

 – расстояние от точки M поверхности до оси ;

 – плоскость, проходящая через точку M и образующая угол  с плоскостью ;

 – плоскость (рис. 4).

Очевидно, что данную систему можно представить как полярную систему координат  с дополнительной аппликатой декартовой системы координат , или

, тогда  и 

 .   (10)

4.3. Переход к сферической системе координат

 – сфера, расстояние от точки M до точки ;  – плоскость, проходящая через точку M и образующая угол  с плоскостью ;  – коническая поверхность с вершиной в точке , осью  и углом  между образующей и осью  (рис. 5).

Согласно геометрии (рис. 5), можно составить уравнения перехода от декартовой к сферической системе координат.  Якобиан преобразования:

, .

.(11)

Вопрос 5. Физические приложения тройного интеграла

5.1. Определение массы неоднородного тела

Согласно выражению (1) масса неоднородного тела с плотностью  определяется трехкратным интегралом

,

где границы области определения  соответствуют объему тела.

5.2. Статистические моменты и координаты центра тяжести тела

Координаты центра тяжести системы массой  определяются согласно выражениям , , . Следуя рассуждениям, используемым в предыдущих лекциях, запишем

; ; .

5.3. Моменты инерции неоднородного тела

Моменты инерции относительно координатных плоскостей

, , ,

относительно координатных осей

, , ,

а так же относительно начала координат

 .

Заключение

Для лучшего усвоения материала рекомендуется прочесть еще раз основные выводы по каждой лекции. Отметим, что все интегральные задачи строятся по одному принципу разбиение и предельный переход». Используя его, можно составлять интегральные задачи любой кратности.   

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.