Правило исследования функции на экстремум

Цель лекции: изучить понятие двойного интеграла; научиться определять тип задач, приводящих к двойному интегралу; научиться вычислять двойной интеграл.

План лекции

1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла

2. Определение двойного интеграла

3. Свойства двойного интеграла

4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Введение

Понятие интеграла ранее уже рассматривалось. Напомним, что задачи, связанные с определением первообразной, решаются путем взятия интеграла, то есть это задачи, обратные дифференцированию. Ранее они рассматривались относительно функции одной переменной. Подобные задачи ставятся и для функции многих переменных. В этом случае необходимо вычислять двойной интеграл.

Для лучшего понимания двойного интеграла рекомендуется повторить материал трех предыдущих лекций и таблицу интегралов. Понятие двойного интеграла необходимо при изучении темы «Элементы теории поля» и при решении прикладных задач, связанных с определением масс, объемов, средних значений и др.

1. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла

1.1. Объем цилиндрического бруса

Цилиндрический брус задан снизу областью определения  в плоскости . Сверху ограничен поверхностью , заданной функцией двух переменных , и с боков – цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси  и направляющей – границей области определения  (рис. 1). Задача – найти объем цилиндрического бруса . Воспользуемся интегральным методом. Разобьем область  на n частей (рис. 1). Обозначим площадь отдельной части . Выберем   i-тую часть. Из точек контура этой части проведем прямые  до пересечения с .Получим i-тый цилиндрический брус . Возьмем произвольную точку  из основания . Обозначим высоту этого бруса . Объем i-того бруса . Аналогично найдем остальные . Тогда полный объем цилиндрического бруса будет определяться выражением

.                      (1)

.                     (1)

1.2. Масса неоднородной пластины

Дана плоская пластина (рис. 2) с неравномерным распределением плотности. Расположим эту пластину в плоскости . Обозначим плотность массы пластины в точке как . Если масса пластины , то масса пластины определяется через ее площадь  как . Разобьем пластину на n частей. Обозначим площадь i-той части как . Возьмем произвольную точку  из основания . Плотность в этой точке равна . Если принять ее постоянной в пределах элементарной части, то масса i-го участка равна . Тогда масса всей пластины . Аналогично предыдущей задаче используем метод предельного перехода, при этом получим точное значение массы

.     (2)

2. Определение двойного интеграла

Пусть задана функция  в области  плоскости . Разобьем  D на n частей, площади которых обозначим . В i-той части выберем произвольную точку , вычислим в ней значение функции и произведения . Составим интегральную сумму произведений . Найдем предел суммы при , где  – расстояние между двумя наиболее удаленными точками границы i-той области. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точки в каждой части, то он называется двойным интегралом и обозначается

 ,                (3)

Теорема 1 (о существовании двойного интеграла).

Если функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области, то двойной интеграл от этой функции существует.

3. Свойства двойного интеграла

Двойные интегралы построены по такому же принципу, как и однократные интегралы, то справедливы свойства

1. .

2. .

3.  и = .

4. Если , то .

5. Если , то .

6. .

7. Если , то , где S – пл. D.

Теорема 2 (о среднем).

 Если функция  непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то существует точка , такая что , где  – среднее значение функции в D

 .                       (4)

4.1. Переход к декартовым координатам

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

 . (5)

Объем  цилиндрического бруса ограничен снизу областью определения, сверху – графиком подынтегральной функции. Пусть область определения задана как  (рис. 3). Здесь  – вход,  – выход, , . На рис. 4 изображен цилиндрический брус. Для фиксированного значения переменной  получим в сечении этого бруса криволинейную трапецию , ограниченную сверху кривой , а снизу – отрезком . Очевидно, что площадь этой трапеции определяется интегралом . Для произвольного сечения  его площадь . Тогда

.        (6)

Сравнивая это выражение с (3), запишем

 .     (7)

 .    (7)

Если область определения сложной формы, то ее разбивают на простейшие (рис. 6).

Замечание!

Внешние пределы всегда постоянные, а внутренние функции переменной, по которой берется внутренний интеграл. Если область определения прямоугольник, то все пределы постоянны (рис. 7).

 .               (8)

4.2. Правило вычисления двойного интеграла

Чтобы вычислить двойной интеграл, надо привести его к повторному.

1. Для расстановки пределов во внутреннем интеграле надо пересечь область определения D прямой, параллельной координатной оси одноименной с переменной интегрирования, и найти эту переменную из уравнений границ этой области, пересекаемых прямой.

2. Спроецировать область интегрирования на ось, одноименную с переменной внешнего интеграла. Полученный отрезок является интервалом интегрирования внешнего интеграла.

ПРИМЕР 1. Определить , если область определения

.

.

Заключение

Следует обратить внимание на единую методику при построении интегральных сумм и записи интегралов. Понимание данного материала необходимо для изучения лекции «Тройные интегралы». Важно подробно разобрать последний пример, в котором сведены основные этапы вычисления двойного интеграла, что будет необходимо при изучении следующей лекции, посвященной практическим приложениям двойного интеграла. Особое внимание следует обратить на классификацию области определения подынтегральной функции, так как зачастую неправильный выбор пределов интегрирования существенно затрудняет вычисления.

Отметим, что:

- двойной интеграл позволяет вычислить объемы тел, не заданных поперечным сечением, а также массу неравномерных пластин;

- внутренний интеграл есть функция, определяющая площадь сечения;

- область определения функции двух переменных задает пределы интегрирования;

- .

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.– 512 с.

3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. – 656 с.

4. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Часть 2 – М.: Лань, 2002. - 464 с.

Лекция 22. Приложения двойного интеграла

Цель лекции: научиться использовать известные методы интегрирования при взятии двойных интегралов, уметь применять полученные знания в прикладных задачах.

План лекции

1. Замена переменной в двойном интеграле

2. Геометрические приложения двойного интеграла

3. Физические приложения двойного интеграла

Введение

В предыдущей лекции были даны основные теоретические сведения о двойных интегралах. Они имеют важное значение при решении практических задач. Однако приведенные примеры не в полной мере охватывают области применения кратных интегралов. В этой лекции рассматриваются возможности применения двойного интеграла в прикладных задачах. Будут приведены некоторые новые аналитические выражения, позволяющие решать сложные задачи.

1. Замена переменной в двойном интеграле

1.1. Теорема о переходе к новым переменным

Напомним, что правило замены переменной состоит в следующем . Пусть при вычислении двойного интеграла потребовалась замена переменной по системе

. (1)

Система (1) позволяет заменить элемент площади области

,

где  – якобиан преобразования , то есть происходит переход от одной области определения к другой (рис. 1).

Если якобиан преобразования не равен нулю  для любых , то справедливо преобразование

 . (1)

1.2. Переход к полярным координатам

Переход к полярным координатам осуществляется по формулам . Подставляя последнее в (1), получим

 . (2)

1.3. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для функции   задана область определения, ограниченная двумя лучами , ,  и непрерывной кривой   (рис. 2), где r и  - полярные координаты точек кривой (см. л. 17). Поскольку область D уже задана в полярных координатах, то нет необходимости применять (2), и двойной интеграл будет иметь вид

 .       (3)

Если область определения (рис. 3) ограничена двумя непрерывными кривыми  и , то выражение (3) примет вид

 .

ПРИМЕР 1.

Определить , если .

 2. Геометрические приложения двойного интеграла

2.1. Объем фигуры

Объем цилиндрического бруса задан снизу областью определения  в плоскости . Сверху ограничен поверхностью , заданной функцией двух переменных , и с боков – цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси  и направляющей – границей области определения . Из предыдущей лекции объем этой фигуры определяется как

.

Если фигура снизу ограничена другой поверхностью (рис. 5), то объем образованного тела определяется как разность объемов цилиндров

.

2.2. Площадь плоской фигуры

Если принять , т. е. если задан плоский цилиндр с единичной высотой, то его объем будет равен площади его основания 

 .                       (4)

       2.3. Площадь криволинейной поверхности

Пусть задана гладкая поверхность уравнением , т. е.  и   непрерывны. Определим площадь этой поверхности. Применим интегральный метод, разбивая поверхность на участки. Вычисляем площадь каждого участка, заменяя его касательной плоскостью. Далее перейдем к пределу интегральной суммы и получим

 .                  (5)

Сравните данное выражение с (2), (3) л. 17.

3.1. Статистические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Пусть дана плоская пластина (рис. 6), в каждой точке которой задана плотность . Координаты центра тяжести системы массой  определяются согласно выражениям , . Очевидно, что масса пластины

 .          (6)

Для нахождения статистических моментов применим интегральный метод. Разобьем пластину на n частей. Обозначим площадь каждой части как , где . В i-ой части выберем произвольно точку . Предположим, что в этой части плотность постоянна  и масса сосредоточена в одной точке , тогда (см. л. 17, (7) – (9)) статистические моменты системы точек  будут определяться согласно

, откуда  ;     (7)

, откуда        .      (8)

3.2. Моменты инерции

Пусть дана плоская пластина (рис. 6) в каждой точке которой задана плотность . Согласно физике моменты инерции определяются как

, ,   .

, , . (9)

ПРИМЕР 2.

Пусть пластина, ограниченная областью  (рис. 7), имеет неравномерную плотность . Определим момент :

.

Заключение

Рассмотрены практические приложения двойного интеграла, необходимые, прежде всего, для решения прикладных задач. Для лучшего усвоения материала предлагается сравнить подходы, используемые в лекции «Приложения определенного интеграла». Понимание общности в решении интегральных задач требуется для изучения следующих лекций, посвященных тройному интегралу, а также при изучении темы «Криволинейные интегралы».

Отметим, что:

- переход к новым переменным осуществляется с помощью якобиана;

- при переходе к новым переменным двойного интеграла, как и при переходе к новой переменной однократного интеграла, необходимо менять пределы интегрирования или, что эквивалентно, изменению области интегрирования;

- двойные интегралы, в отличие от простых определенных интегралов, позволяют определить массу, объем и др. более сложных тел;

- двойной интеграл позволяет определить площадь любой гладкой криволинейной поверхности, а не только поверхности вращения.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.– 512 с.

3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. – 656 с.