Лекция 14. Определенный интеграл

Лекция 12. Неопределенный интеграл

Цель занятия: изучить понятие первообразной, ее геометрический смысл, а также понятие интеграла; научиться находить основные интегралы. 

План лекции

1. Первообразная функции и ее свойства

2. Неопределенный интеграл и его свойства

3. Правила интегрирования

4. Таблица основных интегралов

5. Непосредственное интегрирование

Введение

Этой лекцией начинается новая тема высшей математики «Интегральное счисление». Понятие интеграла неразрывно связано с понятием дифференциала. Для его усвоения нужно знать таблицу производных и теорию пределов.

Полученные знания в этом разделе часто используются для решения многих прикладных задач, например нахождение среднего значения объема биомассы, среднего значения экономического роста, нахождение объемов и масс тел, площадей различных поверхностей, например географической местности, нахождение длины траектории движения объекта и т. д.

1. Первообразная функции и ее свойства

Определение 1.

Функция  называется первообразной для функции  на отрезке , если  (дифференцируема) и  

1.1. Геометрический смысл первообразной

1.2. Свойства первообразной

Свойство 1.

Если  – первообразная функции , то  так же первообразная функции  и является непрерывной как сумма непрерывных функций.

Свойство 2.

Если  и  – первообразные функции , то .

Доказательство.

Найдем   . Следовательно .

Если функция имеет первообразную, то она имеет их множество, и все они отличаются на постоянную величину.

2. Неопределенный интеграл и его свойства

Определение 2.

Множество всех первообразных функций, называется неопределенным интегралом функции и обозначается

 .                               (1)

где С – постоянная интегрирования.

Теорема 1 (существования).

Если функция  непрерывна на интервале то на этом же интервале существует первообразная или интеграл.

2.1. Геометрический смысл интеграла

Интеграл – это семейство интегральных кривых, полученное смещением одной из кривых вдоль оси  (рис. 2). Поэтому он называется неопределенным

2.2. Свойства интеграла

Свойство 1.

Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению

 .                             (2)

Доказательство: .

Производная от интеграла равна подынтегральной функции

 .

Доказательство: .

Свойство 3.

Интеграл от дифференциала первообразной равен первообразной

 .                              (3)

Доказательство: .

Частный случай!

.

3. Правила интегрирования

Правило 1.

Постоянный множитель можно выносить и вносить под знак интеграла

Доказательство. Производная . С другой стороны, . Следовательно, Правило 1 справедливо.

Правило 2.

Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа интегрируемых функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждого слагаемого.

Пусть  – интегрируемые функции по переменной , тогда

.       (4)

Доказывается аналогично Правилу 1.

4. Таблица основных интегралов

Таблица интегралов получена путем отображения таблицы производных. Чтобы доказать справедливость интеграла, достаточно найти дифференциал правой части и воспользоваться первым свойством интеграла.

	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,
	,

Непосредственное интегрирование применяется, когда можно воспользоваться таблицей интегралов или свести интеграл к табличному виду, или внести интегрируемую функцию под знак дифференциала, а затем воспользоваться третьим свойством интеграла.

ПРИМЕРЫ.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

7. .

8. .

9. .            

5.1. Преобразование дифференциалов

Заключение

Таблица интегралов является справочным материалом и не требует запоминания. Однако важно уметь осуществлять простейшие преобразования подынтегрального выражения с целью дальнейшего непосредственного интегрирования. В конечном счете, к этому сводятся любые методы интегрирования. Приведенные примеры наиболее ярко отражают гибкость таких преобразований. 

Отметим что:

- первообразная функции – это та кривая, у которой тангенсы угла наклона касательных описываются этой функцией;

- неопределенный интеграл – это семейство первообразных, отличающихся на постоянную величину;

- интеграл от дифференциала дает дифференцируемое выражение плюс С;

- константа выносится из-под знака интеграла;

- после интегрирования не должно быть других констант кроме С.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. – 512 с.

Введение

В предыдущей рассматривался самый простой метод интегрирования – непосредственное интегрирование. Однако при решении многих прикладных задач интегрируемая функция зачастую оказывается более сложной и непосредственное интегрирование применить сразу невозможно. Для нахождения таких интегралов существуют различные методы, основная суть которых состоит в том, чтобы более сложную функцию свести к непосредственному интегрированию.

1. Подстановка

Теорема 1.

Пусть  – непрерывна, а  непрерывно дифференцируема , тогда

.                            (1)

Доказательство.

Найдем производную левой части (1). Согласно второму свойству

.

Найдем производную правой части (1). По условию  непрерывна, следовательно, существует обратная функция , t – промежуточная переменная,  – независимая переменная. Согласно второму свойству неопределенного интеграла

=

ПРИМЕР 1.

.

ПРИМЕР 2.

Обратите внимание, что в предыдущей лекции подобный пример решался непосредственным интегрированием

.

2. Интегрирование по частям

Теорема 2.

Если  и  непрерывно дифференцируемы, то

.                         (2)

Доказательство.

По правилу , откуда . После интегрирования , откуда .

2.1. Правило интегрирования

1. Разбить подынтегральное выражение на два сомножителя, один из которых признать за U, другой за dV.

2. Найти dU и, интегрируя dV, найти V.

3. Записать результат в виде (2).

Замечание!

Выбирать U необходимо таким образом, чтобы его дифференциал был «проще» изначального выражения. Например, степенная функция. В свою очередь интеграл от dV не должен усложнить выражение. Например, функция . Или наоборот. В итоге подынтегральное выражение должно упроститься.

ПРИМЕР 3.

.

2.2. Случаи применения правила

1. Если под интегралом логарифм или его произведение на другую функцию. Принимают .

2. Под интегралом обратная тригонометрическая функция или ее произведение на другую функцию. За U принимают обратную тригонометрическую функцию.

3. При интегрировании произведения полинома и указанных функций . Правило применяется  раз.

4. При интегрировании произведения экспоненциальной функции и тригонометрической.

 откуда .

3. Интегрирование рациональных функций

Интегралы от некоторых функций не выражаются конечным числом элементарных функций. Например:

, , , , , .

Такие интегралы называются не берущимися или неинтегрируемыми в конечном виде и могут быть представлены в виде бесконечной суммы функций. Результат интегрирования – неэлементарная функция. К числу интегралов, выражающихся конечным числом элементарных функций, относятся интегралы от рациональных функций.

3.1. Интегрирование целых рациональных функций

Очевидно, что возможны ситуации, когда невозможно найти первообразную функцию в виде конечной суммы элементарных функций.

3.2. Интегрирование дробных рациональных функций

Правильные рациональные дроби, у которых степень числителя меньше степени знаменателя, разлагаются на простейшие дроби. Такие дроби могут быть четырех типов.

1. Правильная дробь I типа .

2. Правильная дробь II типа .

4. Правильная дробь IV типа . Приведем к виду  

+ .

Далее интегрируем по рекуррентной формуле

. (3)

ПРИМЕР 5.

.Вывод!

Интегралы от простейших дробей выражаются через дробно-рациональные функции, логарифм и арктангенс.

Так как любая правильная дробь может быть разложена в конечную сумму простейших дробей, то справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Интеграл от всякой рациональной функции выражается конечной комбинацией элементарных функций.

4.1. Универсальная подстановка, интегралы вида

Так как  выражаются рационально относительно , то рассмотрим интеграл рациональной функции . При этом используется универсальная подстановка

и  .

.

Это интеграл от рациональной функции. Так как указанная подстановка приводит любую функцию, рациональную относительно тригонометрических функций, к рациональной относительно одной переменной, она называется универсальной.

ПРИМЕР 6.

Если  входят в выражение в четной степени, то удобнее

,   и .

ПРИМЕР 7.

.

4.2. Интегралы вида

Если в рациональной зависимости находится только одна тригонометрическая функция, а вторая входит в выражение в первой степени, то можно использовать преобразование

 ,

где , , или

,

где , .

ПРИМЕР 8.

4.3. Интегралы вида

1. Если  – четное ( ), а  – целое, то

= = = .

ПРИМЕР 9.

.

2. Если обе степени четные и не отрицательные, то используются формулы понижения степени

, ,  .

ПРИМЕР 10

.

Данные интегралы берутся с использованием формул

ПРИМЕР 11

4.5. Интегралы вида , ,

Используются формулы ,

ПРИМЕР 12

4.6. Интегралы вида ,

1. Если степени четные и , то применяются тождества п. 4.5.

2. Если степени нечетные , то применяются формулы

,

 .

5. Интегрирование иррациональных функций

5.1. Интегралы вида

Пусть общий знаменатель всех показателей  или , тогда данный интеграл можно записать . Воспользуемся подстановкой , а , тогда = .

ПРИМЕР 13.

5.2. Интегралы вида

Данный интеграл берется аналогично предыдущему. В качестве подстановки используется , где  – общий знаменатель. Из подстановки найти ,  и подставить в интеграл, далее интегрирование сведется к интегрированию рациональной функции. 

5.3. Тригонометрическая подстановка

1. Интеграл вида . Используется подстановка ,  или , . Тогда . Интеграл сведется к виду . Данный интеграл берется согласно правилам, рассмотренным на с. 90 – 92.

2. Интеграл вида . Используется подстановка  или . Кроме того, можно использовать гиперболическую подстановку с учетом выражения

3. Интеграл вида . Используется подстановка  или , тогда .

Заключение

Изучены основные и дополнительные методы интегрирования изучили основные и дополнительные методы интегрирования. Строгого запоминания аналитических выражений не требуется. Достаточно знать методы интегрирования. Полученные знания, имеют больше практическое значение, однако они пригодятся и при изучении дифференциальных уравнений. Существуют следующие методы интегрирования:

- непосредственное интегрирование;

- метод подстановки;

- интегрирование по частям;

- интегрирование целых и дробных рациональных функций;

- особые методы интегрирования рациональной зависимости тригонометрических функций методами универсальной подстановки, а также формулы понижения степени, произведения синусов и др.;

- интегрирование иррациональных функций методами тригонометрической и гиперболической подстановки. 

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление». – М.: Высшая школа, 1994.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа» – М.: Наука, 1972. – 496 с.

4. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 1 – М.: Лань, 2002. - 448 с.

5. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 2 – М.: Лань, 2002. - 464 с.

6. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. – 512 с.

7. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. – 656 с.

Лекция 14. Определенный интеграл

Цель лекции: научиться ставить задачи, приводящие к определенному интегралу, изучить свойства определенного интеграла. 

План лекции

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

2. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

3. Условия существования определенного интеграла

4. Свойства определенного интеграла

Введение

Данная лекция особенно важна при решения прикладных задач. Например, нахождение объемов, площадей поверхности и др. 

1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

1.1. Геометрическая задача

 Дана криволинейная трапеция, ограниченная осью , прямыми ,  и графиком  (рис. 1). Необходимо найти площадь. Очевидно, что в криволинейную трапецию могут быть вписаны прямоугольники. Обозначим  - последовательность площадей вписанных многоугольников. Последовательность возрастающая и ограниченная сверху. Аналогично обозначим  – последовательность площадей описанных многоугольников. Последовательность убывающая и ограниченная снизу.   

Определение 1.

Плоская фигура называется квадрируемой, если существуют и равны между собой пределы .

Определим площадь криволинейной трапеции (рис. 1). Для этого разобьем отрезок   на  частей точками  таким образом, что . Система точек  называется разбиением отрезка  и обозначается . Таким образом, площадь разбилась на  элементарных или частичных трапеций. Обозначим  – площадь i-той трапеции. Очевидно, что площадь всей трапеции . На отрезке  выберем произвольную точку (рис. 2). Найдем  и примем его за высоту прямоугольника с тем же основанием, что и элементарная трапеция. Тогда приближенно площадь i-той трапеции будет определяться как , где . За  можно было принять середину отрезка либо точку наименьшего или наибольшего значения функции на этом отрезке. Тогда приближенное значение площади криволинейной трапеции определяется как . Так как фигура квадрируема, то существует предел последовательностей площадей вписанных и описанных многоугольников и

,  где .

Найти длину перемещения материальной точки, движущейся неравномерно прямолинейно со скоростью  за время . Разобьем отрезок  точками  . В промежутке  выберем произвольную точку , вычислим в этой точке значение скорости . Предположим, что скорость за этот промежуток времени не изменилась. Тогда расстояние, пройденное за этот промежуток, определяется , где . Такие же предположения сделаем относительно всех промежутков. Тогда общая длина перемещения . Найдем предел

, где .

2. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

1. Пусть .

2. Возьмем .

3. На каждом отрезке выберем произвольную точку, найдем в ней значение функции и вычислим произведение .

4. Составим  – интегральную сумму Римана.

5. Выберем . Найдем предел суммы .

Определение 2.

Предел интегральной суммы при , если он существует и не зависит ни от способа разбиения отрезка, ни от выбора каждой точки на отрезке, называется определенным интегралом функции на отрезке  и обозначается

,

где  – пределы интегрирования,  - отрезок интегрирования. Из п. 1 следует, что геометрический смысл интеграла – это площадь криволинейной трапеции, ограниченная осью , прямыми ,  и графиком .

Выводы!

1. Определенный интеграл – число, зависящее от подынтегральной функции и от отрезка и не зависящее от переменной интегрирования.

2. Интеграл на отрезке  равен нулю. 3. .

3. Условия существования определенного интеграла

Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящей от  и , то функция  интегрируема на .

Теорема 1 (необходимое условие  определенного интеграла).

Если функция  интегрируема на , то она на нем ограничена.

Доказательство.

Предположим, что в точке  неограниченна. Возьмем  на . Выберем в каждом отрезке . Допустим, что одна из точек , следовательно, . Тогда интегральная сумма , а следовательно, и ее предел стремится к .

Обратное утверждение не верно. Если функция ограничена, это не значит, что она интегрируема. Например, функция Дирихле . Если за  взять рациональные точки, то , если за  взять иррациональные точки, то . Следовательно, интеграл не существует.

Теорема 2 (достаточное условие существования определенного интеграла).

Если функция принадлежит классу интегрируемых функций , то она интегрируема.

Теорема 3.

Если функция ограничена и имеет конечное число точек разрыва первого рода (кусочно-непрерывная), то она интегрируема (рис. 3).

Теорема 4.

Если функция ограничена и монотонна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Вопрос 4. Свойства определенного интеграла

4.1. Первое свойство

Если  интегрируема на отрезке , то , где  также интегрируема, то есть постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

 .

Доказательство.

Если функции  и  интегрируемы на отрезке , то

 .

 Доказательство предлагается провести самостоятельно. Первое и второе свойство – это свойства линейности определенного интеграла.

4.3. Третье свойство аддитивности по промежутку

Если  интегрируема на отрезке  и , то

.

Доказательство сводится к разбиению  так, что , при этом интегральная сумма .

4.4. Четвертое свойство

Если  интегрируема на ,  и , то интеграл неотрицательной функции не отрицателен.

.

Доказательство.

Составив интегральную сумму . При этом  и , следовательно, .

4.5. Пятое свойство

Если функции  и  интегрируемы на , и , то неравенство функций можно интегрировать, т. е.

.

Доказательство.

По условию , т. е. . По 4-му свойству . По 2-му свойству  и .

Если  интегрируема на ,  и , то

 .              (1)

Доказательство. По условию , причем , так как . Запишем  или . При  придем к (1).

Вывод!

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху на отрезке  функцией , заключена между площадями прямоугольников с основаниями  и высотами, равными M и m функции на .

ПРИМЕР 1.

Оценим величину . Определим . Функция  – убывающая на . Наибольшее  и наименьшее  значения. Тогда  и . Следовательно

Заключение

К понятию определенного интеграла могут приводить многие прикладные задачи, такие как расчет объема биомассы, определения интегрального среднего экономического роста и др.

Отметим, что: 

- интегральная сумма – это сумма произведений оснований элементарных прямоугольников на их высоты или сумма ;  

- определенный интеграл это предел интегральной суммы при условии, что количество прямоугольников бесконечно возрастает;

- определенный интеграл это число;

- смена пределов интегрирования приводит к смене знака интеграла;

- кусочно-непрерывная функция интегрируема;

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа» – М.: Наука, 1972. – 496 с.

Введение

Из предыдущей лекции ясно, что определенный интеграл – это число. Встает вопрос: «как его определить?». Основное внимание необходимо обратить на формулу Ньютона – Лейбница для вычисления значения определенного интеграла. Знания, полученные на этой лекции, необходимы при решении всех прикладных задач, связанных с нахождением определенного интеграла, вычислении интегрального среднего значения и др.

1. Теорема о среднем

Теорема 1.

Если  интегрируема на  и , то для  справедливо

 .                    (1)

Доказательство.

Пусть , тогда по свойству 6 об оценке определенного интеграла справедливо . Разделив обе части на , получим . Обозначим , тогда , что удовлетворяет условию теоремы. Из последнего выражения получим (1). Аналогично для .

Частный случай!

Если функция непрерывна на  и , то существует  такая, что

.                    (2)

По теореме Больцано – Коши на отрезке  существует точка  такая, что для  справедливо . Подставив значение  в (1), получим (4).

Определение 1.

Интегральное среднее называется значение функции  в точке  и определяется как

 .               (3)

 2. Определенный интеграл как функция верхнего предела