Лекция 16. Методы вычисления определенного интеграла

Цель лекции: научиться применять методы интегрирования для вычисления определенного интеграла, изучить понятие несобственного интеграла и научиться его использовать для нахождения определенного интеграла разрывных функций.

План лекции

1. Замена переменной

2. Интегрирование по частям

3. Несобственный интеграл первого типа

4. Несобственный интеграл второго типа

5. Вычисление площадей плоских фигур

Введение

Поскольку для вычисления определенного интеграла необходимо находить первообразные, то изученные нами ранее правила интегрирования можно использовать для вычисления определенного интеграла. Однако очевидно что, например, при замене переменной меняется не только подынтегральное выражение, но должны меняться и пределы интегрирования. Поэтому на данной лекции рассмотрим известные методы нахождения первообразной для вычисления определенного интеграла. Кроме того, в предыдущей лекции было показано, что вычислить определенный интеграл от разрывных функций известными методами нельзя, поэтому изучим новое понятие несобственного интеграла.

1. Замена переменной

Теорема 1.

Если   непрерывна, а  – непрерывно дифференцируема, причем , , то

.                            (1)

Доказательство.

ПРИМЕР 1.

.

2. Интегрирование по частям

Теорема 2.

Если  и – непрерывно дифференцируемы, то

 .                          (2)

Доказательство.

По правилу . Проинтегрируем , откуда .

ПРИМЕР  2.

.

 3. Несобственный интеграл первого типа

Пусть функция  определена на , тогда определенный интеграл по этому промежутку не существует (рис. 1).

Определение 1.

.                              (3)

Определение 2.

Несобственным интегралом первого типа с бесконечным нижним пределом называется предел определенного интеграла с переменным нижним пределом при условии, что он стремится в минус бесконечность.

.                       (4)

Замечание!

Если правые части выражений (3) и (4) существуют и меньше бесконечности, то несобственные интегралы 1-го типа сходятся или существуют.

Если  определена на , то несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами разбивают на два рассмотренных несобственных интеграла

.                    (5)

На несобственные интегралы 1-го типа можно обобщить формулу Ньютона – Лейбница

Один нейрон нервной системы был возбужден. После окончания воздействия на него возбуждение начало спадать (функция активации). Расход энергии, затрачиваемой на возбуждение, соответственно уменьшается по экспоненциальному закону  (рис. 2), где  – параметр релаксации нейрона,  – начальная энергия, приданная нейрону на возбуждение. Требуется определить полную затраченную на возбуждение нейрона энергию.    

 4. Несобственный интеграл первого типа

Пусть функция  определена на , в точке  функция не ограничена.

Определение  3.

Несобственным интегралом второго типа от функции, не ограниченной на левом конце интеграла, называется интеграл вида (рис. 3)

.     (6)

Определение  4.

Несобственным интегралом второго типа от функции, не ограниченной на правом конце интеграла, называется интеграл вида

.     (7)

Если правые части выражений (6) и (7) существуют и меньше бесконечности, то несобственные интегралы второго типа сходятся или существуют.

Если  имеет разрыв второго рода в точке  (рис. 4), то интеграл разбивается на два несобственных интеграла второго типа

. (8)

ПРИМЕР  4.

 Вернемся к интегралу  (рис. 5). Согласно выражению (8)

Из геометрического смысла определенный интеграл – это площадь криволинейной трапеции (рис.6). Однако возможны случаи, когда функция отрицательна, тогда ее необходимо брать по модулю, поскольку площадь должна быть положительна. Более того, , хотя площадь под кривой  больше нуля. Это обусловлено переменностью знака функции. Ниже приведены наиболее часто встречающиеся случаи.

Заключение

В заключении отметим, что: 

- меняя переменную необходимо менять пределы интегрирования;  

- несобственный интеграл 1-го типа это интеграл с  пределом;

- несобственный интеграл 2-го типа это интеграл с неограниченной функцией в точках пределов интегрирования;

- при вычислении плоских фигур необходимо учитывать что определенный интеграл от отрицательной функции будет отрицателен. 

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. – 512 с.

Введение

Основная задача этой лекции – рассмотреть дополнительные прикладные задачи, решение которых раскрывает в достаточной мере возможности интегрального исчисления. Данная лекция носит в основном практический характер, несмотря на то, что в ней будут также рассмотрены некоторые новые аналитические выражения.

1. Площадь плоской фигуры в полярных координатах

Определение 1.

Криволинейным сектором называется фигура, ограниченная двумя лучами , ,  и непрерывной кривой  (рис. 1), где r и  – полярные координаты точек кривой.

Фигура квадрируема, следовательно, существует площадь этой фигуры. Разобьем сектор на n частных секторов лучами . Найдем площадь i-того частного сектора. На дуге i-того сектора выберем произвольную точку , соединим ее с полюсом и опишем круговой сектор радиуса . Очевидно, что площадь частичного кругового сектора приближенно равна площади частичного криволинейного сектора , где . Аналогично найдем площади всех частичных секторов. Тогда площадь всего криволинейного сектора будет определяться как . Обозначим , тогда если  непрерывна, то площадь можно точно определить как предел интегральной суммы Римана

.        (1)

2. Вычисление длин дуг плоской кривой

Пусть кривая линия L  задана уравнением . Требуется определить длину дуги на отрезке . По теореме Пифагора , откуда определим . Тогда длина дуги будет определяться выражением 

.                     (2)

Пусть кривая линия L  задана параметрически . Требуется определить длину дуги при . По теореме Пифагора , откуда определим . Тогда длина дуги будет определяться как

.                        (3)

 Пусть кривая линия L  задана в полярных координатах , где  – полярные координаты. Требуется определить длину дуги при . По теореме Пифагора , откуда дифференциал . Тогда длина дуги будет определяться как

.                                     

3. Вычисление объемов и площадей поверхностей

3.1. Объем тела с заданным поперечным сечением

.                                     (4)

ПРИМЕР 1.

Найти объем пирамиды с площадью основания  и высотой h. Расположим пирамиду так, чтобы его высота совпадала с осью  (рис. 3). Сечение пирамиды плоскостью  дает подобную пира

3.2. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции

Пусть задана криволинейная трапеция в плоскости , т. е. фигура ограниченная прямыми  и , осью  и кривой . Ось вращения . Определи объем тела вращения (рис.4). Площадь сечения . Тогда объем фигуры вращения

 .        (5)

3.3. Площадь поверхности тела, образованного вращением криволинейной трапеции

Пусть задана криволинейная трапеция в плоскости , т. е. фигура, ограниченная прямыми  и , осью  и кривой . Ось вращения . Определить площадь поверхности тела вращения (рис.4). В отличие от П. 3.1. при составлении интегральной суммы мы будем заменять элементарный сегмент не цилиндром, а усеченным конусом с радиусами  и . Тогда площадь поверхности усеченного конуса будет определятся как . С учетом, что  более высокого порядка малости, запишем , тогда площадь поверхности вращения будет определятся как

.                  (6)

Выражение (6) приведено для явного задания кривой. Для другого вида задания кривой необходимо учитывать вид  (см. п. 2).

4. Физические приложения определенного интеграла

4.1. Статические моменты

Определение 2.

Статическим моментом точки относительно какой-либо оси называется произведение массы на расстояние точки до этой оси (рис. 5).

,  .

Определение 3.

Статическим моментом системы точек называется сумма статических моментов точек этой системы (рис. 6)

, .

4.2. Координаты центра тяжести плоской фигуры

Координаты центра тяжести системы массой  определяются согласно выражениям , . Пусть криволинейная трапеция (рис. 7) – это плоская фигура с постоянной плотностью . Для вычисления координат применим интегральный метод. Разобьем отрезок . В каждой i-той частной трапеции выберем середину  основания . Заменим элементарную трапецию эквивалентным прямоугольником с высотой . Очевидно, что координаты центра тяжести прямоугольника с равномерной плотностью будут расположены в серединах этих прямоугольников . Тогда статистические моменты системы точек  будут определяться согласно

, или . (8)

Тогда координаты центра тяжести с учетом  могут быть определены согласно выражениям

,      .                (9)

4.3. Координаты центра тяжести дуги

Очевидно, что масса дуги будет равна , где  – линейная плотность. В свою очередь координаты центра тяжести элементарного участка дуги  будут . Тогда

, или , (10)

, или . (11)

Координаты центра тяжести будут определяться как

 ,      .      (12)

5. Работа переменной силы

Пусть  – переменная сила. Очевидно, что работа  будет зависеть от начала  и конца  участка. Применим интегральный метод.

.                         (13)

Заключение

Не смотря на то, что в данной лекции рассматривалось практическое приложение определенного интеграла, отметим, что подробное решение классических прикладных задач позволит в будущем правильно ставить подобные задачи и правильно их решать. Для лучшего усвоения рекомендуется еще раз повторить таблицы дифференциалов, интегралов и правила раскрытия неопределенностей. Основное внимание нужно было обратить на различие между понятиями дифференциала дуги и дифференциала переменной, поскольку ошибка, связанная с неправильным определением дифференциала, приведет к неверным результатам. Следует обратить внимание на то, что при определении площади поверхности вращения  элементарный участок заменяли не цилиндром, а усеченным конусом.   

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Пискунов Н.С. «Дифференциальное и интегральное исчисление» – М.: Знание, 1994.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. «Элементы теории функций и функционального анализа» – М.: Наука, 1972. – 496 с.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление – Ростов-на-Дону: Феникс, 1997. – 512 с.

5. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

Введение

Нам уже знакомо понятие функции на множестве как заданное отношение. Однако ранее рассматривались функции, заданные бинарным отношением, то есть на множестве, образованном декартовым произведением двух множеств, или на декартовой плоскости. С другой стороны, известно, что отношения бывают n-арные, то есть отношение третьего порядка образует множество в трехмерном пространстве, или по аналогии может быть задана функция двух переменных в трехмерном декартовом пространстве и т. д.

В действительности окружающий нас мир невозможно описать функцией конечного числа переменных, однако, допустив некоторые ограничения, достаточно точно описать многие физические явления вполне реально, поэтому понимание сути, геометрического и физического смысла функции многих переменных крайне необходимо. В первом вопросе лекции вводятся дополнительные понятия дискретной математики, требующиеся для понимания новой темы.   

1. Точечные множества в n-мерном евклидовом пространстве

Введем обозначение элемента евклидового пространства как  или , или , или .

Определение 1.

Совокупность точек M евклидового пространства таких, что расстояние от этих точек до точки  меньше некоторой величины , называется дельта-окрестностью  точки .

 .

1. В пространстве  для точки  геометрическая интерпретация  будет иметь вид как на рис. 1, т. е внутренние точки интервала ( .

2. В пространстве  для точки  геометрическая интерпретация  будет иметь вид как на рис. 2, т. е. внутренние точки круга радиуса .

3. В пространстве  для точки  геометрическая интерпретация  будет иметь вид как на рис. 3, т. е внутренние точки сферы радиуса .

Определение 2.

Пусть D – точечное множество в евклидовом пространстве ( ), тогда точка  называется внутренней D, если существует некоторая .

Рассмотрим рис. 4. Здесь точка  является внутренней, а точки  и  нет.

Определение 3.

Точка  называется граничной (предельной) точкой множества D, если любая  содержит хотя бы одну точку этого множества. Совокупность всех граничных точек D называется границей этого множества.

Определение 4.

Точка  называется внешней точкой множества D, если существует , которой не принадлежит ни одна точка этого множества.

Определение 5.

Множество D, состоящее только из внутренних точек, называется открытым, а состоящее из внутренних и граничных точек называется замкнутым.

Определение 6.

Множество D называется связным (см. ч. 1, л. 3, опр. 9), если две любые точки этого множества можно соединить линией, полностью принадлежащей этому множеству.

ПРИМЕР 1.

Определение 7.

Связное, открытое множество называется областью. Связное, замкнутое множество называется замкнутой областью.

Определение 8.

Точечное множество называется ограниченным, если существует n мерный шар, которому принадлежат все точки этого множества.

Определение 9.

Замкнутые, ограниченные области называются компактами.

Пусть . Если каждому элементу  соответствует определенное действительное число, то говорят, что на множестве D задана функция n переменных .

Определение 10.

Функцией n переменных называется отображение множества  на множество  и обозначается или , где D – область определения, E – область значений.

2. Функции двух и трех переменных, их геометрический смысл

2.1. Функция двух переменных

Определение 11.

Функцией двух переменных называется отображение множества  на множество  и обозначается .

2.1. Способы задания функции двух переменных

1. Аналитический способ

За область D принимается множество пар , для которых функция определена. Записывается аналогично функции одной переменной.

ПРИМЕР 2.

Дана функция , найти область определения. Очевидно, что  и , тогда область D зададим как

Изобразим область определения функции в декартовой плоскости (рис. 6).

2. Табличный способ

3. Графический способ

Для любой точки  задается значение функции  (рис. 7). Каждой точке из области определения D соответствует точка в пространстве , совокупность которых образует поверхность .

ПРИМЕР 3.

Запишем уравнение верхней части полусферы с центром в точке  и радиусом 1 в виде  (рис. 8).

Важно!

Графическое изображения функций двух переменных – линии уровня.

Определение 12.

Линией уровня называется линия на графике , в точках которой функция принимает одно и то же значение .

ПРИМЕР 4.

Если h – высота местности над уровнем моря, то это будут линии на топографической карте (рис. 9), соответствующие одной и той же высоте (изолинии).

2.2. Функция трех переменных

Определение 13.

Функцией трех переменных называется отображение множества  на множество  и обозначается , где D – множество упорядоченных троек чисел  или область определения.

Геометрически область определения функции трех переменных – это пространственное тело. График функции трех переменных  – это поверхность четырехмерного пространства.

Для графического изображения функций трех переменных пользуются поверхностями уровня.

Определение 14.

Поверхностью уровня называется поверхность, в каждой точке которой функция  принимает одно и то же значение .

ПРИМЕР 5.

Если с – потенциал электрического поля, то поверхности уровня – это эквипотенциальные поверхности, которые наглядно отображают распределение электрического поля в пространстве. Например, поверхностью уровня потенциала поля электрического заряда является сфера (рис. 10) .

ПРИМЕР 6.

Функцией трех переменных может быть функция температуры тела или некоторого газа в пространстве, то есть в каждой точке трехмерного пространства может быть задана скалярная величина . Используя поверхности уровня, моделируют небесные тела, планеты, звезды и др. В биологических задачах моделирования широко используются изотермические поверхности и др.

3. Предел и непрерывность функции многих переменных

Очевидно, что теория пределов должна распространяться и на функции многих переменных. Пусть  – функция многих переменных на . Пусть .

Число b называется пределом функции  в точке , если для любого сколь угодно малого положительного  найдется другое положительное число  такое, что для всех  выполняется условие , или   .

Определение 16.

Величина  есть бесконечно малая в точке , если .

Определение 17.

Число b называется пределом функции  в точке , если  – бесконечно малая величина в этой точке.

Вывод!

Все основные теоремы о пределах (единственности, основные и т. д.) можно по аналогии перенести на функцию многих переменных.

ПРИМЕР 7.

Определение 18.

Функция многих переменных называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и  . Если нарушается какое-либо условие, то функция имеет разрыв в точке.

ПРИМЕР 8.

; z – не определена при  или при , то есть гипербола – линия разрыва функции. 

4. Свойства функций многих переменных на компакте

Пусть функция  определена на компакте K и непрерывна (если функция непрерывна в каждой точке компакта, то она непрерывна на K).

1. Если  непрерывна на K, то она ограничена. Или , где  и .

2. Функция  принимает на компакте свое наибольшее  и наименьшее  значения.

3. Любое значение между  и  функция принимает внутри компакта.

ПРИМЕР 9.

 – график полусферы, а область определения компакт .

1. Функция ограничена .

2. Функция принимает наибольшее  и наименьшее  значения.

3. Значения функции находятся в интервале .

Заключение

Изучалось понятие функции многих переменных. Для упрощения понимания смысла этого понятия важно обратить внимание на общность базисных определений. Понимание того, что известная ранее функция одной переменной есть лишь частный случай функции многих переменных, позволит с легкостью изучить дифференцирование функций многих переменных, сформировать пространственное мышление.

Отметим, что:

- дельта-окрестность в, общем виде, это n-мерная сфера;

- область может быть замкнутой, но неограниченной;

- область определения функции n переменных имеет размерность ;

- функцию трех переменных часто называют пространственной функцией;

- известная теория пределов справедлива для функций n переменных.

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 2003. – 384 с.

2. Фихтенгольц Г.М. «Основы математического анализа» Часть 1 – М.: Лань, 2002. – 448 с.

3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики. – М.: Астрель, 2001. – 656 с.