Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Экстремум функции многих переменных

Наибольшее и наименьшее значение функции на компакте

Введение

В этой лекции разрешаются  основные практические задачи, наглядно отображающие физический и геометрический смысл дифференциала функции многих переменных. Материал этой лекции необходим при решении прикладных задач, таких как моделирование поверхностей, анализ поверхностей уровня, программирование образов, кроме того, при определении максимума или минимума роста биомассы, концентрации озона в атмосфере, количества вещества в химических процессах и др.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Поверхность задана неявным уравнением

Дана поверхность  – график неявно заданной функции двух переменных

.          (1)

Определение 1.

Точка называется обыкновенной, если в этой точке существуют частные производные функции и хотя бы одна из них неравна нулю. В противном случае точка называется особая.

Определение 2.

Поверхность, состоящая только из обыкновенных, точек называется гладкой.

ПРИМЕР 1.

Дана поверхность . Тогда . Определим , , . Очевидно, что в точке O(0,0,0) частные производные , поэтому точка O(0,0,0) – особая, а поверхность не гладкая.

Прямая l называется касательной к поверхности  в обыкновенной точке , если она является касательной к любой кривой, лежащей на этой поверхности и проходящей через эту точку (рис. 1).

Теорема 1.

Все касательные прямые в обыкновенной точке принадлежат одной плоскости.

Доказательство.  Задан годограф (рис. 1)

.

некоторой векторной функции . Касательный вектор . Так как , подставим уравнение 1 в (1) . Продифференцируем последнее по t

.                           (2)

Левая часть (2) есть скалярное произведение векторов.Здесь  касательный вектор к L. Обозначим вектор . Согласно (2)  или . То же можно сказать о любой касательной, проведенной через точку  поверхности , следовательно, все касательные принадлежат одной плоскости.

Определение 4.

Плоскость, в которой лежат все касательные прямые, называется касательной плоскостью с вектором нормали

.

Тогда уравнение касательной плоскости  в точке  запишем как

.      (3)

Определение  5.

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в этой точке.

 Тогда уравнение нормали к поверхности точке запишем как

 .                   (4)

Дана поверхность  как график явно заданной функции двух переменных . Определим уравнения касательной плоскости и нормали. Перейдем к неявному виду . Тогда , и . Подставим частные производные в (3) и (4) и получим уравнение касательной плоскости

.            (5)

и уравнение нормали в точке

.                (4)

Замечание!

Очевидно, что в особой точке нет касательной плоскости.

2. Экстремум функции многих переменных

Необходимое условие экстремума

Определение 6.

Точка  из области определения D функции  называется точкой максимума, если существует такая дельта-окрестность  этой точки, что для любых  следует .

Определение  7.

Точка  из области определения D функции  называется точкой. минимума, если существует такая дельта-окрестность  этой точки, что для любых  следует .

Теорема 2 (необходимое условие экстремума).               

Если функция  дифференцируема в  и имеет экстремум, то частные производные . Обратное утверждение не верно.

ПРИМЕР 2.                             

Задана поверхность . Это гиперболический параболоид (рис.2). Определим частные производные , . Очевидно, что в точке O(0,0) график поверхности не имеет экстремум, но .