Общее выражение поверхности вращения

Сфера

Метод сечений

Эллипсоиды

5. Гиперболоид

Цели занятия:изучить понятие поверхностей второго порядка; на основе полученных знаний по теме «Кривые второго порядка»; изучить метод сечений и научиться строить поверхности второго порядка.

Роль и место лекции

В предыдущих лекциях были даны такие понятия аналитической геометрии, как кривые второго порядка, плоскость и прямая в пространстве. Понимание этих тем особенно важно для восприятия данной лекции. Она позволит сформировать математическое  пространственное мышление. Для лучшего усвоения материала необходимо рассматривать пространственные объекты в сечениях или в разрезе. Когда сформируется представление о геометрическом объекте, необходимо представить его в целом.

Предложенный материал особенно важен для тех специальностей, где необходимо строить геометрические модели объектов. Например, в географии при моделировании планетарных поверхностей и их участков, моделировании объемных тел залежей ископаемых; в программировании при компьютерной анимации (понятие «полигон» непосредственно связано с геометрическими фигурами в пространстве); в астрономии при построении траекторий движения космических тел; в биологии в вопросах, связанных с необходимостью исследования функций многих переменных, например зависимости популяции от среднегодовой температуры и  широты местности, а так же при построении эквипотенциальных поверхностей и линий уровня.

1. Общее выражение поверхности вращения

Вывод уравнения поверхности

Определение 1

Поверхности второго порядка – это такие поверхности, которые описываются алгебраическими уравнениями второго порядка.

Определение 2

Поверхность вращения – поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг координатной оси.

,        (1)

где  – текущие координаты кривой L. Т. е. Z=0 Образуем поверхность вращением L вокруг оси Oy. Возьмем некоторую точку  на образованной  поверхности . Проведем через эту точку плоскость . Обозначим  – точка пересечения этой плоскости с осью Oy, а  – точка пересечения этой плоскости с кривой L. Ординаты трех точек равны, поскольку лежат в одной плоскости , т. е. . Очевидно  или ,

, или  откуда . (2)

Подставим (2) в (1) получим уравнение

              (3)

с тремя переменными , являющихся координатами точек поверхности, следовательно (3) есть уравнение поверхности вращения . Сравнивая (1) и (3) можно определить правило образования поверхности вращения. 

1.2. Правило образования поверхности вращения

Чтобы из уравнения кривой получить уравнение поверхности вращения надо в уравнении кривой оставить неизменной переменную, одноименную с осью вращения, а другую заменить корнем квадратным из суммы квадратов заменяемой переменной и недостающей в уравнении кривой.

ПРИМЕР 1.

Найти уравнение поверхности, образованной . Будем вращать кривую вокруг оси Ox. Согласно правилу образованная поверхность будет описываться уравнением  или . Это уравнение сферы с центром в начале координат, R – радиус.

Определение 1.

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки – центра сферы.

Зададим центр сферы , R – радиус. Тогда согласно определению  определим выражение  или

 .                          (4)

Это уравнение сферы в каноническом виде. Раскроем скобки. Тогда уравнение (3) запишем в виде общего

алгебраического уравнения второго порядка. Т. е. сфера принадлежит к уравнениям второго порядка. Чтобы от общего уравнения перейти к каноническому надо выделить полные квадраты .

Признаки, характеризующие уравнение сферы:

- коэффициенты при квадратах текущих координат равны;

- отсутствуют члены, содержащие произведения текущих координат.

ПРИМЕР 1.

Изобразить тело, ограниченное поверхностями: , , .

Решение. В первом уравнении выделим полный квадрат  или . Это сфера в центром . Уравнение  – плоскость, проходящая через начала координат и ось . Тело отсекаемое этими поверхностями имеет вид (рис. 2).

3. Метод сечений

1. Находят уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями или плоскостями параллельными им. При этом необходимо решать систему уравнений.

2. Изображая каждую линию сечения, получают изображение поверхности.

3. Два одинаковых типа сечений дают название поверхности, а третье сечение, отличное от двух одинаковых, дает определение к названию. Например, если в сечениях две параболы и один эллипс, следовательно, поверхность эллиптический параболоид.

4. Эллипсоиды

Получим поверхность, вращая кривую  – эллипс вокруг оси . Согласно правилу, уравнение поверхности будет иметь вид

.        (5)

Для исследования этой поверхности применим метод сечений.

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

  или  – эллипс.

2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

  или  – окружность.

  или  – эллипс.

Два эллипса, одна окружность, следовательно, это эллипсоид вращения рис. 3. Если эллипсоид вращения деформирован сжатием или растяжением в области кругового сечения, то получается трехосный эллипсоид или эллиптический эллипсоид

 .

4. Гиперболоиды

4.1. Однополостный гиперболоид

Получим поверхность, вращая кривую  – гиперболу вокруг оси . Согласно правилу уравнение поверхности будет иметь вид

. (6)

Для исследования этой поверхности применим метод сечений.

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

  или

 – окружность.

2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

  или  – гипербола.

То есть это гиперболоид вращения рис. 4.

4.2. Двуполостный гиперболоид

Получим поверхность, вращая кривую  – гиперболу вокруг оси . Уравнение поверхности будет иметь вид

.      (7)

Для исследования этой поверхности применим метод сечений.

1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или  – гипербола.

2. Сечение плоскостью , поскольку при  решений нет (мнимая окружность), поэтому делаем сечение параллельной плоскостью, тогда

или  – окружность. Отметим, что при

3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда

или  – гипербола.

Следовательно, это гиперболоид вращения рис. 5.

Если гиперболоид вращения деформирован сжатием или растяжением в области кругового сечения, то получается эллиптический гиперболоид

а) однополостный

 ;

б) двуполостный

 .

Заключение

В лекции дан метод сечений, используемый при построении поверхностей второго порядка. Понимание предложенного материала важно для изучения следующей лекции, посвященной параболоидам, цилиндрическим и коническим поверхностям. Важно понять, что аналитическая геометрия в пространстве отличается от аналитической геометрии на плоскости только лишней размерностью. Очевидно, что при необходимости можно рассматривать геометрические законы и в n-мерном пространстве. С точки зрения теории множеств поверхность – это отображение элементов множества декартовой плоскости (или упорядоченных пар) в элементы множества действительных чисел.

Отметим наиболее важное:

- поверхности второго порядка описываются уравнениями второго порядка;

- поверхности вращения образуются вращением плоской кривой второго порядка вокруг координатной оси;

- из уравнения кривой можно получить уравнение поверхности;

- если вращение осуществлять не по круговой, а по эллиптической траектории, то можно получить эллиптические поверхности;

- метод сечений заключается в рассмотрении кривых, образуемых при сечении поверхности некоторыми плоскостями

Литература

1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980.

2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.