Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Общее выражение поверхности вращения
Сфера Метод сечений Эллипсоиды 5. Гиперболоид Цели занятия:изучить понятие поверхностей второго порядка; на основе полученных знаний по теме «Кривые второго порядка»; изучить метод сечений и научиться строить поверхности второго порядка. Роль и место лекции В предыдущих лекциях были даны такие понятия аналитической геометрии, как кривые второго порядка, плоскость и прямая в пространстве. Понимание этих тем особенно важно для восприятия данной лекции. Она позволит сформировать математическое пространственное мышление. Для лучшего усвоения материала необходимо рассматривать пространственные объекты в сечениях или в разрезе. Когда сформируется представление о геометрическом объекте, необходимо представить его в целом. Предложенный материал особенно важен для тех специальностей, где необходимо строить геометрические модели объектов. Например, в географии при моделировании планетарных поверхностей и их участков, моделировании объемных тел залежей ископаемых; в программировании при компьютерной анимации (понятие «полигон» непосредственно связано с геометрическими фигурами в пространстве); в астрономии при построении траекторий движения космических тел; в биологии в вопросах, связанных с необходимостью исследования функций многих переменных, например зависимости популяции от среднегодовой температуры и широты местности, а так же при построении эквипотенциальных поверхностей и линий уровня. 1. Общее выражение поверхности вращения Вывод уравнения поверхности Определение 1 Поверхности второго порядка – это такие поверхности, которые описываются алгебраическими уравнениями второго порядка. Определение 2 Поверхность вращения – поверхность, образованная вращением плоской кривой вокруг координатной оси.
, (1) где – текущие координаты кривой L. Т. е. Z=0 Образуем поверхность вращением L вокруг оси Oy. Возьмем некоторую точку на образованной поверхности . Проведем через эту точку плоскость . Обозначим – точка пересечения этой плоскости с осью Oy, а – точка пересечения этой плоскости с кривой L. Ординаты трех точек равны, поскольку лежат в одной плоскости , т. е. . Очевидно или , , или откуда . (2) Подставим (2) в (1) получим уравнение (3) с тремя переменными , являющихся координатами точек поверхности, следовательно (3) есть уравнение поверхности вращения . Сравнивая (1) и (3) можно определить правило образования поверхности вращения. 1.2. Правило образования поверхности вращения Чтобы из уравнения кривой получить уравнение поверхности вращения надо в уравнении кривой оставить неизменной переменную, одноименную с осью вращения, а другую заменить корнем квадратным из суммы квадратов заменяемой переменной и недостающей в уравнении кривой. ПРИМЕР 1. Найти уравнение поверхности, образованной . Будем вращать кривую вокруг оси Ox. Согласно правилу образованная поверхность будет описываться уравнением или . Это уравнение сферы с центром в начале координат, R – радиус.
Определение 1. Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки – центра сферы. Зададим центр сферы , R – радиус. Тогда согласно определению определим выражение или . (4) Это уравнение сферы в каноническом виде. Раскроем скобки. Тогда уравнение (3) запишем в виде общего алгебраического уравнения второго порядка. Т. е. сфера принадлежит к уравнениям второго порядка. Чтобы от общего уравнения перейти к каноническому надо выделить полные квадраты . Признаки, характеризующие уравнение сферы: - коэффициенты при квадратах текущих координат равны; - отсутствуют члены, содержащие произведения текущих координат. ПРИМЕР 1. Изобразить тело, ограниченное поверхностями: , , . Решение. В первом уравнении выделим полный квадрат или . Это сфера в центром . Уравнение – плоскость, проходящая через начала координат и ось . Тело отсекаемое этими поверхностями имеет вид (рис. 2). 3. Метод сечений
1. Находят уравнения линий пересечения поверхности с координатными плоскостями или плоскостями параллельными им. При этом необходимо решать систему уравнений. 2. Изображая каждую линию сечения, получают изображение поверхности. 3. Два одинаковых типа сечений дают название поверхности, а третье сечение, отличное от двух одинаковых, дает определение к названию. Например, если в сечениях две параболы и один эллипс, следовательно, поверхность эллиптический параболоид. 4. Эллипсоиды Получим поверхность, вращая кривую – эллипс вокруг оси . Согласно правилу, уравнение поверхности будет иметь вид . (5) Для исследования этой поверхности применим метод сечений. 1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – эллипс. 2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – окружность.
или – эллипс. Два эллипса, одна окружность, следовательно, это эллипсоид вращения рис. 3. Если эллипсоид вращения деформирован сжатием или растяжением в области кругового сечения, то получается трехосный эллипсоид или эллиптический эллипсоид . 4. Гиперболоиды 4.1. Однополостный гиперболоид Получим поверхность, вращая кривую – гиперболу вокруг оси . Согласно правилу уравнение поверхности будет иметь вид . (6) Для исследования этой поверхности применим метод сечений. 1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – окружность. 2. Сечение плоскостью , т. е. , тогда
3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – гипербола. То есть это гиперболоид вращения рис. 4. 4.2. Двуполостный гиперболоид Получим поверхность, вращая кривую – гиперболу вокруг оси . Уравнение поверхности будет иметь вид . (7) Для исследования этой поверхности применим метод сечений. 1. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – гипербола. 2. Сечение плоскостью , поскольку при решений нет (мнимая окружность), поэтому делаем сечение параллельной плоскостью, тогда или – окружность. Отметим, что при 3. Сечение плоскостью , т. е. , тогда или – гипербола. Следовательно, это гиперболоид вращения рис. 5.
Если гиперболоид вращения деформирован сжатием или растяжением в области кругового сечения, то получается эллиптический гиперболоид а) однополостный ; б) двуполостный . Заключение В лекции дан метод сечений, используемый при построении поверхностей второго порядка. Понимание предложенного материала важно для изучения следующей лекции, посвященной параболоидам, цилиндрическим и коническим поверхностям. Важно понять, что аналитическая геометрия в пространстве отличается от аналитической геометрии на плоскости только лишней размерностью. Очевидно, что при необходимости можно рассматривать геометрические законы и в n-мерном пространстве. С точки зрения теории множеств поверхность – это отображение элементов множества декартовой плоскости (или упорядоченных пар) в элементы множества действительных чисел. Отметим наиболее важное: - поверхности второго порядка описываются уравнениями второго порядка; - поверхности вращения образуются вращением плоской кривой второго порядка вокруг координатной оси; - из уравнения кривой можно получить уравнение поверхности; - если вращение осуществлять не по круговой, а по эллиптической траектории, то можно получить эллиптические поверхности; - метод сечений заключается в рассмотрении кривых, образуемых при сечении поверхности некоторыми плоскостями Литература 1. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Просвещение, 1980. 2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Физматлит, 2002.
|
||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 336. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |