Тема 9. Графическое построение асимптот(4 часа)

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающаятем свойством, что расстояние между этой прямой и графикомфункции стремится к нулю при неограниченном удалении отначала координат. Различают следующие типы асимптот:

- вертикальная

- горизонтальная

- наклонная

Рис. 46. Типы асимптот

Если в точке разрыва функции или граничной точке области определения хотя бы один односторонний предел бесконечен, то в этой точке есть вертикальная асимптота.

График функции y = f(x) при x → aимеет вертикальную асимптоту,если  или .При этом точка x = a есть точка разрыва. Уравнение вертикальной асимптоты имеет вид: x=a.

Если предел функции в ±∞ конечен, то получаем уравнение горизонтальной асимптоты, равной этому конечному значению.

График функции y = f(x) при x → +∞ или x → – ∞имеет горизонтальную асимптоту,если и (или) .Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид: y=b.

Если в ±∞ конечного предела нет, то ищем пределы для наклонной асимптоты. Если соответствующие пределы конечны, то получаем уравнение наклонной асимптоты.

Наклонной асимптотойграфика функции называется прямая y = kx+b.Для ее существования необходимо, чтобы существовали конечные пределы  и .

Пример 9.1.Проанализируемфункцию и построим графикфункции и асимптоты.

Решение. Данная функция имеет разрывы в точках (2,23607) и (-2,23607). Найдем пределы функции в окрестностях точек разрыва и пределы функции на ±∞.

Все односторонние пределы бесконечны (рис. 47), таким образом, в этих точкахесть вертикальные асимптоты: и .

Рис. 47. Левые и правые пределы функции бесконечны

Предел функции в ±∞ конечен и равен 0, получаем уравнение горизонтальной асимптоты: у₁ = 0.

Построение графика функции y(x)осуществим на отрезке [-10; 10] с шагом 0,5(шаг изменения аргумента занесем в ячейку B1).Начальное значение аргумента занесем в ячейку A5, а в ячейку А6занесем формулу вычисления следующего значения аргумента:=A5+$B$1.

Дополнительно вставим по одной пустой ячейке между значениями:-2,5 и-2; между 2 и 2,5. В эти ячейки введем значения  (–2,23607) и  (2,23607) соответственно. В ячейкуВ5 введем функцию (=A5/((A5^2)-5)), формулу скопируем на весь столбец, и из ячеек В21 и В31 удалим бесконечно большие значения (-2,5Е+15), так как в этих точках функция разрывная.

В ячейки С5 и D5 занесем формулы для асимптот и скопируем ее в другие ячейки. На рисунке 48 приведен результат получения рядов данных для построения графика функции и асимптот.

На основании полученных данных построим график функции, горизонтальную асимптоту и две вертикальных асимптоты. Для построения графика функции выделим диапазон А4:В47 и построим точечную диаграмму. Для построения первойвертикальной асимптотывызовем из контекстного меню области построения диаграммы пункт «Выбрать данные» (рис. 49). В окне «Выбор источника данных» воспользуемся кнопкой «Добавить». В результате откроется окно «Изменение ряда» (рис.50).

Рис.48. Табличные значения функции и асимптот

Рис.49. Диалоговое окно выбора данных

Рис.50. Диалоговое окно изменения ряда

В первой строке укажем имя второго ряда (первый ряд – это функция), выбрав содержимое ячейкиС4, во второй строке укажем значения аргумента, выделив диапазон С5:С47, в третьей строке укажемзначение функции (предварительно убрав все имевшиеся в ней символы), выделив диапазон В5-В47.Завершим ввод данных нажатием на кнопку «ОК».

Для построения второй вертикальной асимптоты повторим действия, указав в качестве имени рядасодержимое ячейкиD4, в качествезначения аргумента – диапазон D5:D47, вкачествезначения функции – диапазон В5-В47.

Для построения горизонтальной асимптоты выполним те же действия, в качестве значения аргумента укажем диапазон А5:А47, вкачествезначения функции – диапазон Е5-Е47.

Результат построения представлен на рисунке 51.

Рис.51. График функции с асимптотами

Пример 9.2.Построим график функции  и ее асимптоты.

Решение. Данная функция имеет разрыв в точке х = 3. Найдем пределы функции в этой точке и на ±∞ (рис. 52). Все эти пределы бесконечны. Таким образом, можно сделать вывод о наличии вертикальной асимптоты х = 3 и об отсутствии горизонтальных асимптот.

Для ответа на вопрос о наличии наклонных асимптот найдем предел f(x)/x на ±∞, он равен 1. Предел f(x)–kxравен 3, отсюда следует, что наклонная асимптота имеет вид: y = x + 3.

Рис. 52. Пределы функции и для наклонной асимптоты

Область определения: хϵ(-∞;3)U(3;+∞). Выберем из области определения подходящий диапазон и шаг для построения функции. Результат построения представлен на рисунке 53.

Рис. 53. График функции с асимптотами

Пример 9.3.Построим график функции и ее асимптоты.

Решение. Данная функция не имеет точек разрываона определена на всем промежутке (-∞; +∞). Найдем пределы функции на бесконечности (рис. 54). Если полученный конечный предел на -∞ противоречит внешнему виду функции и ожидаемому отсутствию конечного предела, то необходимо найти пределы еще в некоторых точках на -∞ (рис. 54). Конечные пределы не совпадают, что свидетельствует о бесконечном пределе на -∞. Пределы на +∞ равны 0, т.е. существует горизонтальная асимптота у = 0. График функции с асимптотой представлен на рисунке 55. Для более детального анализа функции в положительной области х поменяем в таблице начальное значение на 2,5 и шаг на 0,05, на рисунке 56 видно изменение в поведении функции, и ее периодическое приближение к асимптоте.

Рис. 54. Пределы функции

Рис. 55. График функции с асимптотой

Рис. 56. График функции с асимптотой