В матричном виде система уравнений (6.5) запишется более компактно

(6.6)
где - вектор переменных состояний: ;
- вектор управления : ;
- матрица параметров размера ( );
- матрица управления размера ( ):

, .
Переменные состояния, как правило, являются внутренними, не поддающимися измерению, ненаблюдаемыми величинами. Между тем в любой реальной системе имеется, по крайней мере, одна выходная переменная, поддающаяся измерению и контролю. В общем случае таких контролируемых выходных переменных может быть несколько.
Они составляют вектор измерений (наблюдений)

В линейных системах этот вектор линейно связан с вектором состояния:

(6.7)
В случае фазовых переменных состояния (6.5) и одного (скалярного) выходного сигнала .
Итак, уравнение динамики линейной системы (6.4) можно привести к такому виду, в котором каждое из уравнений имеет первый порядок:

(6.8)

Управляемость САУ. Критерий управляемости системы по Калману.

Управляемость — одно из важнейших свойств системы управления, описывающее возможность перевести систему из одного состояния в другое.

Состояние линейной системы управляемо, если существует такой вход , который переводил бы начальное состояние в конечное состояние (начало координат) за конечный интервал времени .

Система называется полностью управляемой, если все компоненты её вектора состояний управляемы.

Условия Р.Калмана позволяют оценить свойства систем управления, такие как: управляемость, наблюдаемость и чувствительность.

Для линейных систем существует критерий управляемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка (с компонентами вектора состояния), входами и выходами, записанная в виде:

Где

; ; ;

, , , , .

здесь — «вектор состояния», — «вектор выхода», — «вектор входа», — «матрица системы», — «матрица входа», — «матрица управления», — «сквозная матрица».

Простые критерии проверки управляемости и наблюдаемости системы основаны на анализе матрицы управляемости

N_У=[B | AB | A₂B | ... | A_n-1B]

Необходимым и достаточным условием управляемости системы является невырожденность матрицы управляемости detNУ 0, что эквивалентно условию равенства ранга матрицы N_У порядку n системы, то есть rank N_У = n. Если rank N_У < n, то система неполностью управляемая; если rank N_У = 0 система полностью неуправляемая.