Уравнения автоматического управления замкнутой САУ. Совокупность объекта управления и управляющего устройства называется системой автоматического управления.

Уравнение (1.1.16) описывает процессы в замкнутой САУ и называется уравнением автоматического управления , где матричная передаточная функция САУ по задающему воздействию z(t);

-по возмущающему воздействию r(t).

Характеристический определитель замкнутой САУ. При изучении устойчивости системы рассматриваются только ее собственные движения, т.е. движения при z(t)=0 и r(t)=0. С целью сокращения и упрощения формы записи уравнений (1.1.2)-(1.1.5) ( из вопроса 16) проведем матричное преобразование элементов ,входящих в прямую цепь САУ, и, учитывая уравнение (1.1.1),запишем уравнение эквивалентного элемента а0, включающего в себя многосвязную управляемую систему, исполнительную и управляющего системы в виде

(1.1.35), где Е(t)-вектор управляющих воздействий, поступающих на вход эквивалентного элемента а0. В этом случае уравнения движения замкнутой многомерной САУ,структурная схема которой представлена на рис. 1.6, будут иметь вид

 где уравнение (1.1.37) представляет собой эквивалентное звено цепи обратной связи САУ.

Собственные движения системы, описываемой уравнениями (1.1.36) и (1.1.37), определяются уравнениями вида

Операционная матрица для системы уравнений (1.1.38) и (1.1.39 будет

Матрица F(p) является коагулированной (блочной) матрицей. Для нахождения определителя матрицы F(p) умножим ее вторую строку слева на матрицу   и сложим полученную строку с первой строкой. В результате получим треугольную матрицу F(p), эквивалентную матрице F(p):

Учитывая,что определители эквивалентных матриц отличаются только постоянным множителям,то, с точностью до постоянного множителя,определитель  операционной матрицы F(p) будет

Выражение в квадратных скобках формулы (1.1.42) , с учетом формулы (1.1.8),можно преобразовать к виду

 и выражение (1.1.42) , с учетом свойств определиелей ,принимает вид  Уравнение (1.1.44) является характеристическим определителем замкнутой САУ.

Многомерные объекты содержат по две, три и более выходных величины. Число уравнений должно соответствовать числу выходных величин. В многомерных объектах с независимыми входными величинами изменение любой из входных величин приводит к изменению только своей входной величины. Такие объекты можно разбить на несколько одномерных объектов и рассматривать их независимо один от другого.

Для нахождения уравнения динамики смесителя составим полный материальный баланс, а так же материальный баланс с учетом концентрации вещества в каждом потоке за промежуток времени dt

F1+F2=F

F1Q1dt+F2Q2dt=VdQ+FQdt

F-расход жидкости на выходе из смесителя. Преобразуем уравнение:

+(F1+F2)Q=F1Q1+F2Q2

Линеаризуем его, заменив каждую переменную на сумму базисного значения и приращения. Получим:

v +F₁₀Q₀+F₁₀ ΔQ+Q₀ΔF₁+F₂₀Q₀+F₂₀ΔQ+Q₀ΔF₂=F₁₀Q₁₀+F₁₀ΔQ₁+Q₁F₁+F₂₀Q₂+Q₂ΔF₂

Уравнение смесителя при равновесном состоянии имеет вид

F₁₀Q₀+F₂₀Q₀=F₁₀Q₁₀+F₂₀Q₂

Найдем уравнение смесителя в приращениях

VΔdQ/dt+F0ΔQ=F₁₀ΔQ₁+(Q₁₀-Q₀) ΔF₁-(Q₀-Q₂) ΔF₂

Из уравнения следует, что концентрация вещества Q в смесителе возрастает с увеличением Q1 и F1, так как Q10>Q0 , и понижается с увеличением F2, так как Q0>Q2 по условию.

Y=ΔQ/Q0 z=ΔQ/Q10 x₁ =ΔF₁/F₁₀ x₂=ΔF₂/F₂₀

VQ₀ +F₀Q₀y=F₁₀Q₁₀z+(Q₁₀-Q₀)F₁₀x₁-(Q₀-Q₂)F₂₀x₂

Разделим все слагаемые уравнения на сомножитель F0Q0

T₀dy/dt+y=k₁z+k₂x₁+k₃x₂

T₀=V/F₀ постоянная времени объекта; k₁-k₃- коэффициенты усиления по каналам Q₁-Q, F₁-Q, F₂-Q:

K₁=F₁₀Q₁₀/F₀Q₀ k₂=F₁₀(Q₁₀-Q₀)/F₀Q₀ k₃=F₂₀(Q₀-Q₂)/F₀Q₀

Таким образом, по всем трем каналам прохождения сигналов рассматриваемый смеситель представляет собой устойчивый объект 1-го порядка; его устойчивость объясняется наличием внутренней обратной связи.0

Уравнение динамики смесителя в операторной форме:

(T₀p+1)y=k₁z+k₂x₁-k₃x₂