Оценка устойчивости САУ по распределению корней характеристического уравнения на плоскости корней.

Оценка устойчивости системы по Гурвицу. Матрица коэффициентов характеристического уравнения, ее анализ.

Оценка устойчивости системы по Гурвицу формулирует условие устойчивости в виде определителей.

Для нахождения условий устойчивости системы n-го порядка по коэффициентам характеристического уравнения сначала составляют матрицу, действуя в следующим порядке. По главной диагонали матрицы (слева вниз направо) последовательно выписывают коэффициенты характеристического уравнения, начиная с a1. Столбцы матрицы, начиная с главной диагонали, заполняют коэффициентами характеристического уравнения вверх по возрастанию индексов до а _n , а вниз – по их убыванию до a_0. Оставшиеся пустыми места заполняют нулями. Если система имеет n-й порядок, то всего должно быть заполнено n строк и n столбцов матрицы.

Затем из матрицы выделяют диагональные определители или определители Гурвица; для этого в ней отчеркивают одинаковое число строк и столбцов, начиная от левого угла матрицы. Определители Гурвица имеют вид:

Δ₁=а₁; Δ₂= Δ₃=

По алгебраическому критерию линейная система n-го порядка устойчива, если коэффициент а₀ и все n диагональных определителей Гурвица положительны.

Положительность определения n_-го порядка обычно не выделяют, так как он может быть представлен произведением

Δ_n=a_n* Δ_n-1

И следовательно, требование его положительности свободного члена характеристического уровня a_n и предпоследнего определителя Δ_n-1.

Управляемость динамических систем. В классической теории управляющие воздействия (управления) определялись как воздействия, оказываемые со стороны регулятора на объект с целью обеспечения его желаемого функционирования . При этом неявно предполагалось, что воздействия u(t) способны обеспечить требуемый характер изменений управляемых величин. На самом деле, это не всегда так. В связи с данным обстоятельством в современной ТАУ введено строгое определение управляемости. Нужно заметить, что существуют несколько понятий, формализующих это фундаментальное свойство ДС. Ниже рассматривается наиболее часто встречающееся.

 Для этого нужно вновь вернуться к матрично-векторной ММ ДС

X = A * X + B * U + G * V  ( 1)

Определение управляемости ДС. Объект как ДС с ММ (1) называется полностью (вполне) управляемым, если для любого начального состояния X₀ = X(t₀) существует (ничем не ограниченное) управление U(t) , которое переводит этот объект в любое конечное состояние X₁ = X (t₁) за конечное время t = t₁ – t₀  . Нужно обратить внимание, что данное определение управляемости требует только возможности перевода объекта из одного произвольного состояния в другое произвольное, причем за конечное время. При этом совершенно не важен вид траектории, по которой совершается перевод, а также характер поведения объекта при t > t₀. Кроме того, необходимо учесть, что под понятие ДС попадает и ОУ и САУ. Поэтому данное определение применимо и к технологическому объекту, и к технической системе, и к системе автоматического управления, для которой внешним является задающее воздействие. Управляемость объектов обычно исследуется с помощью сформулированного ниже критерия, предложенного Калманом , и основывающегося на анализе свойств специальным образом сконструированной матрицы управляемости. Определение матрицы управляемости. Матрица, построенная на основе системной матрицы и матрицы управляющих входов ДС (1) по формуле

M_u = [B I AB I .. I A^(n-1)B ]  (2) называется «матрицей управляемости» данной ДС. Критерий управляемости ДС по Калману. ДС (1) с матрицей управляемости M_u , построенной по правилу (2) и имеющей ранг r = rank (M_u ) (3) является:

а) полностью (вполне) управляемой, если r =n ; б) частично (не вполне) управляемой, если 0<r<n (при этом r = n – d,где d- дефект матрицы M_u ); в) полностью (вполне) неуправляемой, если r=0 (d=n ).

 Из формулы (2) следует, что управляемость ДС (1) зависит только от свойств матриц A и B ее МВ ММ. Поэтому во многих источниках говорится об управляемости пары ( A , B ). Следует сделать замечание по поводу размерности матрицы M_u и связанных с нею особенностях применения критерия. Она имеет, в общем случае, размер (n ^x n *r) , где r – размерность вектора управлений. Поэтому, если объект имеет несколько управлений, то матрица M_u является прямоугольной. Если же управление одновходовое, т.е. скалярное, то матрица управляемости является квадратной. Тогда в данном частном случае критерий управляемости принимает следующий вид: det(M_u) = I M_u I не равно 0 (4) Иными словами, для полной управляемости одновходового объекта (пары ( A , B ), где B – столбец) необходимо и достаточно, чтобы матрица управляемости, построенная по формуле (2), была не особая (невырожденная). Следует заметить, что при исследовании многовходовых ДС часто имеет смысл проанализировать не только их общую управляемость по вектор-входу, но и управляемость отдельных каналов. Это целесообразно по разным причинам. Во-первых, не редки случаи, когда один или часть входов объекта обеспечивают его полную управляемость. Тогда не имеет смысла усложнять схему и закон управления, и можно построить САУ с использованием меньшего, чем r , количества управляющих воздействий. Во-вторых, такое исследование позволяет выделить наименее и наиболее эффективные каналы управления.