Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона

Для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х сравнивают между собой экспериментальные и теоретические частоты по критерию Пирсона:

                         (1.33)

Критерий Пирсона определяет меру расхождения между выборочными

данными и теоретическими, определяемыми в соответствии с высказанной гипотезой о распределении случайной величины Х. Если экспериментальные вероятности p_i совпадут с теоретическими , то значение x² равно нулю. Чем ближе значение x² к нулю, тем с большей вероятностью можно будет принять гипотезу о предполагаемом распределении.

    Статистика  имеет распределение с V=k-r-1 степенями свободы, где число k – число интервалов эмпирического распределения, r – число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным. Для нормального распределения число степеней свободы равно V=k-3.

В теории математической статистики оказывается, что проверку гипотезы о модели закона распределения по критерию Пирсона можно делать только в том случае, если выполняются следующие неравенства:

n>50,  где i=1,2,3,…

Из результатов вычислении, приведённых в таблице 1.7 следует, что необходимое условие для применения критерия согласия Пирсона не выполнены, т.к. в некоторых группах . Поэтому те группы вариационного ряда, для которых необходимое условие не выполняется, объединяют с соседними и, соответственно, уменьшают число групп, при этом частоты объединённых групп суммируются. Так объединяют все группы с частотами  до тех пор, пока для каждой новой группы не выполнится условие .

При уменьшении числа групп для теоретических частот соответственно уменьшают и число групп для эмпирических частот. После объединения групп в формуле для числа степеней свободы V=k-3 в качестве k принимают

новое число групп, полученное после объединения частот.

Результаты объединения интервалов и теоретических частот приведены в таблице 1.5.

Таблица 1.5 - Результаты объединения интервалов и теоретических частот

[29,54; 36,06)	0,0946	5,676	6	0,105	0,0185
[36,06; 39,32)	0,183	10,98	9	3,92	0,35701
[39,32; 42,58)	0,258	15,48	17	2,31	0,14922
[42,58; 45,84)	0,248	14,88	17	4,494	0,30202
[45,84; 55,62)	0,215	12,9	11	3,61	0,27984
всего	0,9986	59,916	60		1,10659

Результаты вычислений из таблицы 1.5 можно используют для проверки гипотезы о нормальном распределении с помощью критерия Пирсона.

    Процедура проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины Х выполняется в следующей последовательности:

1. Задаёмся уровнем значимости  или одним из следующих значений

, , .

2. Вычисляем наблюдаемое число критерия, используя экспериментальные и теоретические частоты из таблицы 1.5

3. Для выбранного уровня значимости  по таблице распределения находят критические значения  при числе степеней свободы V=k-3, где

k – число групп эмпирического распределения.

4. Сравнивают фактически наблюдаемое  критическим , найденным по таблице 1.3, и принимаем решение:

А) Если , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения отвергается при заданном уровне значимости.

Б) Если , то выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении, т.к. эмпирические и теоретическое частоты различаются незначительно (случайно). 

При выбранном уровне значимости  и числе групп k=5, число степеней свободы V=2. По таблице 1.3 для  и V=2 находим                                               .

В результате получаем:

Для , которое нашли по результатам вычислений, приведённых в таблице 1.8, имеем

Следовательно, выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.

    При выбранном уровне значимости  получаем:

Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении при заданном уровне значимости .

При выбранном уровне значимости  получаем:

Следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении при заданном уровне значимости .

При выбранном уровне значимости  получаем:

Следовательно, выдвинутая гипотеза о теоретическом законе распределения не противоречит выборке наблюдений при заданном уровне значимости, т.е. нет оснований отвергать гипотезу при выборочном уровне значимости .