Ранжирование выборочных данных, вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, запишем все заданные значения выборки

в виде неубывающей последовательности значений случайной величины X, представленные в табл.1.2.

Таблица 1.2 - Ранжированный ряд

    Интервал [31,17; 53,68], содержащий все элементы выборки, разобьём на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

                    (1.14)

    Вычисляем границы интервалов:

За начало первого интервала принимаем значение

                                               (1.15)

Далее вычисляем границы интервалов:

    Вычисление границ заканчивается, как только выполняется  неравенство , то есть .

    После определения частичных интервалов, определяем экспериментальные частоты n_i , равные числу членов вариационного ряда, попадающих в этот интервал:

x_i-1 ≤ x_(s) < x_i ,                                                                                      (1.16)    

где xi-1, xi – границы i-го интервала; x(s) – значения вариационного ряда.

    Набор частот n1,n2,…, nk должен удовлетворять равенству:

n₁ + n₂ +…+ n_k =  = n                                                                         (1.17)

    Относительной частотой Wi называют долю наблюдений, попадающих

в рассматриваемый интервал:

W_i =                                                                                                           (1.18)

    Плотность распределения относительных частот определим как

отношение относительных частот к величине интервала:

,                                                                                        (1.19)

где  является серединой интервала [xi-1; xi).

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны эмпирической плотности распределения:

͡p_i = ,                                                                                    (1.20)

где i=1,2,…, k.

    Площадь i-го прямоугольника равна доле случайных величин, попавших в i-й интервал:

S_i = ͡p_i h =                                                                                               (1.21)

Площадь гистограммы относительных частот равна сумме площадей прямоугольников:

S =                                                                        (1.22)

Таким образом, функция является статистическим аналогом плотности распределения случайной величины Х, реализации которой получают при статистическом наблюдении. Полигоном частот называется ломаная линия, отрезки которой соединяют середины горизонтальных отрезков, образующих прямоугольники в гистограмме.

Полигоном относительных частот называется ломаная линия с вершинами в точках: , ͡p_i                                                        (1.23)           

По результатам вычислений составим табл.1.3 значений выборочной функции плотности. В первую строку таблицы поместим частичные интервалы, во вторую строку – середины интервалов, в третью строку запишем частоты – количество элементов выборки, попавших в каждый частичный интервал, в четвёртую строку запишем относительные частоты, в пятую строку запишем значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности.

Таблица 1.3 - Значения выборочной функции плотности      

	[29,54; 32,8)	[32,8; 36,06)	[36,06; 39,32)	[39,32; 42,58)	[42,58; 45,84)	[45,84; 49,1)	[49,1; 52,36)	[52,36; 55,62)
	31,17	34,43	37,69	40,95	44,21	47,47	50,73	53,99
	2	4	9	17	17	4	6	1
	0,0333	0,0667	0,15	0,2833	0,2833	0,0667	0,1	0,0167
	0,0102	0,0204	0,0460	0,0869	0,0869	0,0204	0,0307	0,0051

По результатам вычислений функции плотности, представленной в таблице 1.3 можно сделать вывод, что в интервалах [39,32; 42,58) и [42,58; 45,84) больше всего элементов – по 17 в каждом. Объедим эти интервалы в один и вычислим моду: мода имеет один локальный максимум в окрестностях точки х = 44,21 с частотой n_i = 18.

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд, для которого n = 2k = 60 и k = 30:

(1.24)

    Сравнение оценок медианы  = 42,05 и оценки математического ожидания показывает, что они отличаются на 0,997%.