Параметрическая оценка функции плотности распределения

Исходя из гипотезы, что заданная выборка имеет нормальный закон распределения, найдём параметрическую оценку функции плотности, используя формулу для плотности распределения вероятности нормального закона

,                                                                    (1.25)

где  и  известны – они вычисляются по выборке.

Значения этой функции вычисляют для середин частичных интервалов вариационного ряда, т.е. при . На практике для упрощения вычислений функции , где i=1,2,…,k, пользуются таблицами значений функции плотности стандартной нормальной величины (Приложение В).

Для этого вычисляем значения   для i=1,2,…,k:    (1.26)

Затем по таблице находим значение :                     (1.27)

И после вычисляем функцию :                                  (1.28)

Функция φ(х) принимает наибольшее значение при x = X :

                                                                                     (1.29)

    Если h мало и объём выборки n велик, то можно приближенно, достаточно близко определить вероятность того, что случайная величина Х

принадлежит интервалу [x_i-1;x_i), по формуле:

P ,                                                          (1.30)

где – теоретическая вероятность.

    Используем соотношение, связывающее теоретическую вероятность  c теоретической частотой :

                                                                                  (1.31)

    Тогда теоретические частоты  определяются равенствами

                                                                      (1.32)

Может оказаться, что теоретические частоты  являются дробными

числами, но число элементов выборки, попадающих в i-й интервал, всегда

является целым числом. Поэтому округлим дробные теоретические частоты

до целых значений с условием, чтобы сумма всех найденных теоретических частот была близка к n:

    Если сумма теоретических вероятностей существенно ниже единицы, то надо построить дополнительные интервалы слева и справа от основного интервала [x0; xk). Для средних значений частичных интервалов, построенных слева и справа от интервала [x0; xk), вычислим значения теоретической плотности нормального распределения и теоретические частоты. Сумма для всех теоретических вероятностей должна быть близка к единице с точностью до нескольких знаков после запятой:

    Вычислим теоретические вероятности:

Вычислим теоретические частоты:

    Результаты вычислений вероятностей и соответствующих частот приведены в таблице 1.4.

    В первом столбце таблицы расположены k частичных интервалов, во втором столбце расположены наблюдаемые частоты ni , в третьем столбце расположены координаты середины частичных интервалов, в четвёртом столбце расположены относительные частоты, в пятом столбце расположены значения экспериментальной функции плотности, в шестом столбце расположены значения zi , в седьмом столбце расположены значения теоретической функции плотности, вычисленные в середине частичных интервалов, в восьмом столбце расположены значения теоретических вероятностей, в девятом столбце расположены значения теоретических частот.

Таблица 1.4 - Результаты вычисления экспериментальных и теоретических вероятностей и частот

[29,54;32,8)	2	31,17	0,0333	0,0102	-2,28	0,006	0,0196	1,176
[32,8;36,06)	4	34,43	0,0667	0,0204	-1,603	0,023	0,075	4,5
[36,06; 39,32)	9	37,69	0,15	0,0460	-0,93	0,056	0,183	10,98
[39,32; 42,58)	17	40,95	0,2833	0,0869	-0,26	0,079	0,258	15,48
[42,58; 45,84)	17	44,21	0,2833	0,0869	0,42	0,076	0,248	14,88
[45,84; 49,1)	4	47,47	0,0667	0,0204	1,09	0,045	0,147	8,82
Продолжение таблицы 1.4
[49,1; 52,36)	6	50,73	0,1	0,0307	1,76	0,017	0,055	3,3
[52,36; 55,62)	1	53,99	0,0167	0,0051	2,44	0,004	0,013	0,78
	60		1				0,9986	59,916

    Построим графики экспериментальной и теоретической плотности

нормального распределения (рис. 1)

	0,0102	0,0204	0,0460	0,0869	0,0869	0,0204	0,0307	0,0051
	0,006	0,023	0,056	0,079	0,076	0,045	0,017	0,004

Рис.1.Теоретическая и экспериментальная функции плотности вероятностей