Простые модели сплошных сред

Самой простой моделью сплошной среды является идеальная жидкость. Она пригодна для описания жидкостей и газов с малой вязкостью. Для идеальной жидкости тензор напряжений задается в виде    ,               (8.42)

где  — символ Кронекера. Вследствие (8.42) для плотности по­верхностной силы получим , ,       (8.43) то есть в идеальной жидкости поверхностная сила всегда напра­влена по нормали к площадке. Ее величина не зависит от ориента­ции площадки и определяется одной скалярной функцией р, назы­ваемой давлением. Давление — положительная величина. В фор­муле (8.42) выбран знак минус потому, что в реальных сплошных средах, для которых пригодна модель идеальной жидкости, сила давления всегда направлена внутрь выделенного объема сплошной среды противоположно внешней нормали.

Более полно св-ва реальных жидкостей и газов учитываются в модели вязкой жидкости. Для вязкой жидкости тензор напря­жений определяется не только давлением, но и тензором скорости деформации сплошной среды. Для вязкой жидкости тензор напряжений принимается в форме  (8.44) где  и  - постоянные коэффициенты, называемые первым и вторым коэффициентами вязкости. Если среда несжимаема, что выполняется для большинства жидкостей, то для нее   и в выражении (8.44) последнее слагаемое пропадает. Мы ограни­чимся только случаем несжимаемой вязкой жидкости.

Для понимания, что представляет из себя вязкая жидкость, определенная зависимостью (8.44), рассмотрим такое течение жид­кости, когда скорость частиц параллельна оси ох и зависит толь­ко от координаты у. Выберем внутри жидкости объем, имеющий площадку, нормаль к которой параллельна оси оу (рис. 8.3). То­гда тензор скорости деформаций, тензор напряжений и векторы, изображенные на рис. 8.3, будут иметь следующие компоненты: , , , , , , ,

, ,                      (8.45)

,    . В вязкой жидкости наряду с силой давления воз­никает касательная к выделенной площадке сила. Если , то верхние слои жидкости увлекают нижние слои с силой, пропор­циональной величине этой производной. Коэффициент пропорци­ональности это коэффициент вязкости .

Сплошная среда, для которой тензор напряжений и тензор де­формации связаны линейной зависимостью, называется идеально упругим телом. Само уравнение линейной зависимости называет­ся законам Гука, который для изотропных сред может быть запи­сан в одной из двух форм: ,         (8.46)

.        (8.47) Постоянные  и  называются постоянными Ламе и не имеют ни­какого отношения к таким же постоянным в модели вязкой жид­кости. Постоянная  называется модулем Юнга, постоянная  - коэффициентом Пуассона. Для того чтобы найти связь этих двух наборов постоянных, необходимо в уравнениях (8.46) и (8.47) положить  и просуммировать их. В результате получаются формулы:

,     .                  (8.48) Для уяснения смысла закона Гука, задаваемого формулами (8.46) и (8.47), рассмотрим прямоугольный параллелепипед, ре­бра которого параллельны коорди натным осям (рис. 8.4). Если поверхностные силы приложены только

 перпендикулярно к двум его торцам в направлении оси ох, то для тензора напряжений и тензора деформаций получим

,    ,             . (8.49)

Так как  что относительное удлинение образца вдоль оси ох, то формула (8.49) дает известное выражение закона Гука для удлинения образца. Она также показывает, что при удлинении образец будет становиться тоньше. Если же поверхностные на­пряжения приложены по касательной к торцам, как на рисунке, вдоль оси ох, то получим деформацию сдвига, которая описывает­ся формулами

,   .       (8.50)

Поскольку , является коэффициентом пропорциональности ме­жду касательными напряжениями и сдвигами сплошной среды, то коэффициент  называется модулем сдвига.

Рассмотренные здесь модели сплошных сред базируются на значительной идеализации свойств реальных сред. Построение более полных моделей требует привлечения законов термодинамики и выходит за рамки механики.