Метод Эйлера описания сплошной среды.

Механика сплошной среды изучает движение газообразных, жидких и твердых деформируемых тел. При этом не учитыва­ется молекулярное строение вещества, а предполагается его не­прерывное распределение. В сплошной среде можно выделить ма­лый объем , имеющий массу , и устремить  к нулю. В этом пределе выделенный объем можно рассматривать как мате­риальную точку, или частицу сплошной среды. Сплошная сре­да состоит из бесконечного числа таких частиц и, следовательно, является механической системой с бесконечным числом степеней свободы. Границы между частицами не определены, и поэтому ча­стицы нельзя пересчитать. Для того чтобы различать отдельные частицы плотной среды, можно воспользоваться следующим при­емом. Предположим, что в начальный момент времени положе­ние каждой частицы известно и определяется тремя координатами: x₀, y₀, z₀, или радиусом-вектором . В любой другой момент вре­мени положение этих частиц будет задаваться радиусом-вектором . Здесь координаты x₀, y₀, z₀ радиуса-вектора  выделяют индивидуальную частицу среды. Они заменяют номер частицы, используемый в механике системы материальных точек. Однако в отличие от номера частицы начальные параметры x₀, y₀, z₀ изме­няются непрерывно. Выделив таким способом отдельные частицы сплошной среды, для них можно вычислить различные механиче­ские величины. Например, скорость и ускорение частиц сплошной среды определяется по формулам:

, .       (8.1)

Частная производная при  в механике сплошных сред называется полной производной и обозначается как полная произ­водная. Метод описания сплошной среды, когда все характеристи­ки сплошной среды отслеживаются из начальной конфигурации, называется методом Лагранжа.

По известной зависимости  можно найти зависимость . Подстановка зависимости  в формулы (8.1) приве­дет к тому, что скорость и ускорение будут зависеть от времени t ( и радиуса-вектора . Таким образом, от задания величин для от­меченных частиц сплошной среды совершается переход к заданию тех же величин во всех точках пространства, где имеется сплошная среда. В результате получаются заданными поле скоростей воле ускорений и ноля других величин, характеризующих сплошную среду. Метод описания сплошной среды, когда все характеристи­ки сплошной среды задаются как функции координат и времени безотносительно к тому, какие частицы сплошной среды они опи­сывают, называется методом Эйлера.

При описании сплошной среды по методу Эйлера для вычисле­ния полных производных по времени для отдельных частиц сплош­ной среды следует радиус-вектор , входящий в аргумент функций, представить как радиус-вектор отмеченной частицы сплошной сре­ды . Например, если плотность сплошной среды задана по методу Эйлера как функция координат и времени , то вычи­сление полной производной по времени от нее даст

,             (8.2)

.

По тому же правилу вычисляется поле ускорений сплошной среды:

.          (8.3)

27. Производная по подвижному объему, ур-ние неразрывности. (Дифференциальные и интегральные соотношения, подвижный объем).

В механике сплошной среды многие величины задаются своими плотностями. Например, плотность массы, плотность импульса и плотность момента импульса определяются по формулам:

, , .      (8.4)

Тогда те же величины для конечного объема сплошной среды по­лучаются интегрированием по объему: , , .       (8.5)

Уравнения механики сплошной среды также могут быть записаны в дифференциальной и интегральной формах. Объем, по которому ведется интегрирование, может быть фиксированным или подвиж­ным. Под подвижным объемом в механике сплошной среды пони­мают объем, который движется вместе со сплошной средой. По­этому частицы сплошной среды не пересекают поверхность, огра­ничивающую подвижный объем.

Рис. 8.1 При вычислении производных по времени по подвижному объ­ему необходимо учитывать, что с течением времени подвижный объем может измениться. Как видно из рис. 8.1, за время площадка  поверхности, ограничивающей объем, сместится на расстояние . За счет этого смещения объем увеличится на . Все изменение объема получается интегрировани­ем этого увеличения по замкнутой поверхности, ограничивающей подвижный объем:

.      (8.6)

Если некоторая величина А задана объемной плотностью  и вы­числена интегрированием по подвижному объему , то ее при­ращение за время  складывается из двух частей: приращения, вызванного изменением плотности внутри объема, и приращения за счет изменения объема:

.                     (8.7)

Разделив соотношение (8.7) на  и устремив  к нулю, получим производную от величины А, вычисленной по подвижному объему:

.           (8.8)

Поверхностный интеграл в формуле (8.8) с помощью теоремы Остроградского—Гаусса можно преобразовать в объемный:

.                (8.9)

Подстановка этого объемного интеграла в равенство (8.8) приво­дит к следующим выражениям для производной по подвижному объему:

.            (8.10)

Переход от одной формы к другой осуществляется при помощи соотношения

(8.2). Если положить , то величина А равна подвижному объему и формула (8.10) дает производную от подвижного объема, которая равна   .              (8.11)

Если , то величина подвижного объема остается постоянной при движении сплошной среды. Такая сплошная среда называется несжимаемой средой.

Положим в формуле (8.10) А = т. Так как частицы сплошной среды не пересекают границ подвижного объема, то т=const и производная от массы =0. Поэтому нулю должны быть равны подынтегральные выражения в (8.10), что даст уравнения              , .            (8.12)

Уравнения (8.12) называются уравнениями неразрывности и вы­ражают собой закон сохранения массы. Такие же уравнения вы­полняются для любой физической величины (например, заряда), которая остается постоянной внутри подвижного объема.

Найдем сейчас производную по времени от импульса сплошной среды, заключенной в подвижном объеме. Из определения им­пульса (8.5) и выражения (8.10) для производной имеем

.          (8.13)

Сумма во внутренних скобках под знаком интеграла (8.13) обра­щается в нуль вследствие уравнения неразрывности (8.12). В ре­зультате получаем

.                     (8.14)

Аналогичным образом можно показать, что производная от мо­мента импульса конечного объема сплошной среды вычисляется по формуле

.                  (8.15)