Понятие продуктивности матрицы прямых материальных затрат.

Коэффициенты прямых материальных затрат аij показывают какое количество продукции отрасли i необходимо, если учитывать только прямые затраты для производства единицы продукции отрасли j.

Продуктивность матрицы прямых материальных затрат означает ее прибыльность, т.е приносит ли данное распределение отраслевых затрат прибыль.

Продуктивность матрицы прямых затрат возможно определить с помощью 2 условий.

1. Достаточное условие продуктивности.

║А║ - норма матрицы А.

               n

 ║А║=max{∑ |аij| }.

               j=1

Если ║А║< 1, то матрица продуктивна.

2. Необходимое условие продуктивности.

Находится матрица (Е-А).

Все главные миноры, т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк и первых столбцов этой матрицы от 1 до n, должны быть больше нуля.

Матрица А называется продуктивной, если существует неотрицательный вектор , позволяющий получить положительный вектор конечной продукции: (Е-А)Х =Y>0.

Продуктивность матрицы A можно определить и по отношению к модели межотраслевых зависимостей цен. Матрица A продуктивна, если существует такой вектор , что . Неразложимая матрица А продуктивна, если существует такой вектор , что .

Это означает, что можно подобрать цены, обеспечивающие получение неотрицательной чистой продукции во всех отраслях и хотя бы в некоторых отраслях положительной чистой продукции. Для отчетных межотраслевых балансов в ценностном выражении убедиться в том, что матрица А продуктивна, как правило, очень просто: достаточно, чтобы  и хотя бы для одного j было z_j > 0. Однако если эти условия не выполняются, то нельзя утверждать, что матрица А непродуктивна.

Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из нижеследующих условий.

1. Все главные миноры матрицы (Е — А) положительный меньше единицы.

Например, главный минор первого порядка 1 — а_ii > 0. Условия выполняются, если а_ii < 1. Главный минор второго порядка

,

Если a_rsa_sr<(1-a_rr)(1-a_ss)<1.

Матрицы, соответствующие главным минорам, также являются продуктивными. Поэтому все основные свойства матрицы A распространяются на матрицы блоков отраслей и комплексов отраслей. Главный минор n-гo порядка D, т.е. определитель матрицы (Е - А), также заключен в пределах 0 < D < 1. Отсюда, в частности, вытекает существование матрицы (Е - А)^-1.

2. Все собственные значения матрицы .A по модулю меньше единицы.

3. Матрица (Е — А)^-1 положительна.

В свою очередь условие (Е - А)^-1> 0 является одним из важнейших следствий продуктивности матрицы А. Если матрица А неразложима, то матрица (Е — А)^-1 строго положительна.

Для продуктивности матрицы A достаточно, чтобы .

Если матрица А продуктивна, но достаточное условие продуктивности не выполняется, то всегда можно подобрать такие новые измерители продукции (вектор Р), что это условие будет выполняться. Но если матрица А непродуктивна, то никакая система измерителей не исправит дефекта.