Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Задание вращательного движения твердого тела.При вращательном движении в теле существует единственная прямая, все точки которой остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения. Чтобы получить вращательное движение, можно шарнирно закрепить две точки тела (Рис. 2.2).

Проведем в теле сечение, перпендикулярное оси вращения. Через любую точку сечения  проведем перпендикуляр к сечению . Отрезок  во все время движения остается параллельным оси вращения, т.е. движется поступательно. Таким образом, положение сечения полностью определяет положение тела в системе отсчета.

Рассмотрим движение сечения (Рис. 2.3). Положение сечения полностью определяется положением любого отрезка , пересекающего ось вращения . Положение отрезка , а следовательно, положение тела можно задать углом , который отсчитывается от некоторой неподвижной прямой (например, оси ). За положительное направление отсчета

этого угла примем направление против хода часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения. Чтобы задать движение, нужно задать закон изменения угла поворота со временем:  

Рис. 2.2		Рис. 2.3

Вычисление скорости и ускорения любой точки вращающегося тела.Вычислим скорость любой точки  тела. Траектория точки  известна – это окружность с центром , лежащим на оси вращения, радиус которой  равен кратчайшему расстоянию от точки до оси вращения (Рис. 2.4).

Вектор скорости  направлен по касательной к этой окружности, т.е. перпендикулярен отрезку . Дугу  можно рассматривать как дуговую координату точки. Длина дуги окружности связана с центральным углом формулой  Принимая во внимание формулу (6.4), получаем:

Рис. 2.4		Рис. 2.5

Величина  называется угловой скоростью тела. Окончательно получаем:

                                                                                                                 (2.2)

Формула (2.2) называется формулой Эйлера (в дальнейшем будет получен векторный вариант этой формулы). На Рис. 2.5 представлено распределение скоростей точек сечения тела, перпендикулярного оси вращения.

Вычислим ускорение любой точки  тела. Поскольку траектория точки окружность, находим касательное и нормальное ускорения точки:

Величина  называется угловым ускорением тела. Окончательно получаем:

                                                                                             (2.3)

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. В чём состоит естественный способ задания движения точки?
2. Что называется дуговой координатой точки?
3. Что представляет собой естественный трёхгранник?
4. Как вычисляется вектор скорости при естественном способе задания движения?
5. Как вычисляется вектор ускорения при естественном способе задания движения?
6. Что называется поступательным движением твёрдого тела?
7. Какими особенностями обладает поступательное движение?
8. Что называется вращением тела вокруг неподвижной оси?
9. Что называется угловой скоростью тела?
10. Как вычисляется скорость любой точки тела при его вращении?
11. Как вычисляется ускорение любой точки тела при его вращении?

ЛЕКЦИЯ 3 (7)