Естественный трехгранник. Вычисление скорости и ускорения при естественном способе задания движения

Пусть точка  движется по траектории , на которой установлена криволинейная система отсчета (Рис. 1.7).

В любой точке траектории существует единственная касательная. Обозначим  единичный вектор касательной; направлен  в сторону возрастания дуговой координаты. Нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, называется главной нормалью. Обозначим  единичный вектор главной нормали;  направлен в сторону вогнутости траектории. Нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Ее единичный вектор  направлен так, чтобы векторы  и  образовывали правую тройку.

Рис. 1.7

Соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая плоскости образуют естественный трехгранник. Касательная, главная нормаль и бинормаль – оси естественного трехгранника; – орты этих осей.

Оси естественного трехгранника играют существенную роль в описании движения точки, поскольку в этих осях вектор скорости и вектор ускорения вычисляются наиболее удобным образом. Разложение этих векторов по осям естественного трехгранника имеет вид:                                                  

                                                                                                                                  (1.7)

                                                                                                                   (1.8)

где

– проекция вектора скорости на направление касательной к траектории;

– проекция вектора ускорения на направление касательной к траектории, ее называют касательным ускорением точки;

– проекция вектора ускорения точки на направление главной нормали к траектории точки, ее называют нормальным ускорением точки.

Не останавливаясь на выводе формул, приведём конечные результаты для векторов скорости и ускорения точки.

Проекция вектора скорости на направление касательной к траектории точки равна первой производной по времени от дуговой координаты:

                                                                                                                        (1.9)

Таким образом,

                                                                                                                         (1.10)

Касательное и нормальное ускорения точки определяются по формулам:

                                                                                 (1.11)

Таким образом, вектор ускорения точки в естественных осях представляется в виде:

                                                                                                            (1.12)

Рис. 1.8

где  – радиус кривизны траектории в точке . Не претендуя на строгость, попробуем пояснить это понятие. Среди линий постоянной кривизны особое место занимает окружность. Рассмотрим любую гладкую кривую (Рис. 1.8). Радиусом кривизны кривой в данной точке называется радиус окружности, дуга которой в малой окрестности точки совпадает с дугой заданной кривой. Заметим, что прямая также является кривой с постоянной кривизной. В каждой точке прямой радиус кривизны равен бесконечности ( ).

Как известно, производная по времени от какой-либо величины характеризует быстроту изменения со временем дифференцируемой величины. Ускорение характеризует изменение со временем вектора скорости. Вектор скорости может изменять со временем свой модуль и направление. Заметим, что касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное – изменение направления скорости. Единственное движение, при котором ускорение точки равняется нулю это равномерное прямолинейное движение. При любом неравномерном движении отлично от нуля касательное ускорение; при любом криволинейном движении отлично от нуля нормальное ускорение.

КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА